Questão 3. Suponha que as notas de uma prova de vestibular sejam bem aproximadas por
X \sim N(\mu=600, \sigma=100)
Qual a nota de corte para que apenas os 20 \% melhores sejam aprovados?

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado nos deu e o que pede. Informações do enunciado:
  • A variável nota X tem distribuição normal com média e desvio-padrão dados: \mu=600 e \sigma=100.
  • Queremos a nota de corte de modo que apenas os 20\% melhores sejam aprovados.
O que isso significa numericamente:
  • Se chamarmos a nota de corte de c, então a condição é que a probabilidade de um aluno obter nota maior ou igual a c seja 0,20, ou seja
P(X \ge c)=0,20.
Equivalente é dizer que a proporção abaixo de c é 0,80:
P(X \le c)=0,80.

Passo 2

Explicando o raciocínio que vamos usar (passo-a-passo e didático):
  • Para trabalhar com a normal é mais fácil transformar X numa normal padrão Z com média 0 e desvio 1. A transformação é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui Z é uma variável cuja tabela (ou função inversa) conhecemos: P(Z \le z) é a função de distribuição padrão.
  • Aplicando essa transformação ao evento X \le c, temos
P(X \le c)=P\!\left(\frac{X-\mu}{\sigma} \le \frac{c-\mu}{\sigma}\right)=P\!\left(Z \le \frac{c-\mu}{\sigma}\right).
Queremos que isso valha 0,80. Logo precisamos achar o valor z_{0,80} tal que
P(Z \le z_{0,80})=0,80.

Passo 3

Como encontrar z_{0,80}:
  • Em tabelas da normal padrão ou usando uma função inversa (por exemplo \Phi^{-1}(0,80) onde \Phi é a função de distribuição da normal padrão), o valor procurado é aproximadamente
z_{0,80}\approx 0,841621\ldots
Explicando intuitivamente: z_{0,80} é o número de desvios-padrão acima da média que deixa 80\% da massa à esquerda.

Passo 4

Voltando para c: usamos a relação entre c e z_{0,80}. Da definição de Z,
\frac{c-\mu}{\sigma}=z_{0,80}.
Isolando c obtemos a fórmula prática:
c=\mu+\sigma\cdot z_{0,80}.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos (mostrando as contas detalhadas):
  • Usar \mu=600, \sigma=100 e z_{0,80}\approx 0,841621.
  • Primeiro calcular \sigma\cdot z_{0,80}:
100 \times 0,841621 \approx 84,1621.
  • Somar à média:
c \approx 600 + 84,1621 = 684,1621.

Passo 6

Arredondamento e interpretação prática:
  • Em provas costuma-se apresentar a nota de corte com duas casas decimais ou arredondada para inteiro. Com duas casas decimais temos c\approx 684,16.
  • Interpretação: quem obtiver nota maior ou igual a \,684{,}16 estará entre os melhores 20\% (na hipótese do modelo normal dado).

Resposta

\,684{,}16

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