Questão 3. Suponha que as notas de uma prova de vestibular sejam bem aproximadas por
Qual a nota de corte para que apenas os
melhores sejam aprovados?
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado nos deu e o que pede. Informações do enunciado:
- A variável nota
tem distribuição normal com média e desvio-padrão dados: e . - Queremos a nota de corte de modo que apenas os
melhores sejam aprovados.
O que isso significa numericamente:
- Se chamarmos a nota de corte de
, então a condição é que a probabilidade de um aluno obter nota maior ou igual a seja , ou seja
Equivalente é dizer que a proporção abaixo de
é
:
Passo 2
Explicando o raciocínio que vamos usar (passo-a-passo e didático):
- Para trabalhar com a normal é mais fácil transformar
numa normal padrão com média e desvio . A transformação é
Aqui
é uma variável cuja tabela (ou função inversa) conhecemos:
é a função de distribuição padrão.
- Aplicando essa transformação ao evento
, temos
Queremos que isso valha
. Logo precisamos achar o valor
tal que
Passo 3
Como encontrar
:
- Em tabelas da normal padrão ou usando uma função inversa (por exemplo
onde é a função de distribuição da normal padrão), o valor procurado é aproximadamente
Explicando intuitivamente:
é o número de desvios-padrão acima da média que deixa
da massa à esquerda.
Passo 4
Voltando para
: usamos a relação entre
e
. Da definição de
,
Isolando
obtemos a fórmula prática:
Passo 5
Substituindo os valores numéricos (mostrando as contas detalhadas):
- Usar
, e . - Primeiro calcular
:
- Somar à média:
Passo 6
Arredondamento e interpretação prática:
- Em provas costuma-se apresentar a nota de corte com duas casas decimais ou arredondada para inteiro. Com duas casas decimais temos
. - Interpretação: quem obtiver nota maior ou igual a
estará entre os melhores (na hipótese do modelo normal dado).