Questão 5. Considere um vórtice bidimensional na origem do plano satisfazendo a condição do item (b) da questão anterior, portanto, induzindo um escoamento potencial. Mostre que, nesse caso, a circulação ao longo de uma circunferência com centro na origem e raio r \neq 0 é independente do valor de r e relacione-a com a constante C da questão anterior.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para um vórtice bidimensional na origem que gera um escoamento potencial (isto é, irrotacional fora da origem), a circulação ao longo de qualquer circunferência centrada na origem de raio r\neq0 não depende de r. Além disso, devemos relacionar essa circulação com a constante C do potencial do vórtice.

Passo 2

A circulação ao longo de uma curva fechada C é definida por
\Gamma \;=\;\oint_C \mathbf v\cdot d\mathbf ℓ.

Passo 3

Escolhemos C como a circunferência de raio r, parametrizada por \theta\in[0,2\pi]:
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,
d\mathbf ℓ = (-r\sin\theta\,\mathbf i + r\cos\theta\,\mathbf j)\,d\theta.

Passo 4

Num escoamento potencial de vórtice satisfazendo o item (b) da questão anterior, o potencial é dado por
\varphi(r,\theta)=C\,\theta.
Então o campo de velocidades em coordenadas polares (r,\theta) é
v_r \;=\;\frac{\partial \varphi}{\partial r}=0, \qquad v_\theta \;=\;\frac{1}{r}\,\frac{\partial \varphi}{\partial \theta} =\frac{C}{r}.

Passo 5

Na curva C, apenas o componente tangencial v_\theta contribui para \Gamma. Logo,
\Gamma =\int_{0}^{2\pi}v_\theta\,(r\,d\theta) =\int_{0}^{2\pi}\frac{C}{r}\;r\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}C\,d\theta =2\pi\,C.
Note que não aparece r no resultado, mostrando a independência do raio.

Resposta

\Gamma = 2\pi\,C, ou seja, a circulação é igual a 2\pi vezes a constante C.

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