Questão 5. Considere um vórtice bidimensional na origem do plano satisfazendo a condição do item (b) da questão anterior, portanto, induzindo um escoamento potencial. Mostre que, nesse caso, a circulação ao longo de uma circunferência com centro na origem e raio
é independente do valor de
e relacione-a com a constante
da questão anterior.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, para um vórtice bidimensional na origem que gera um escoamento potencial (isto é, irrotacional fora da origem), a circulação ao longo de qualquer circunferência centrada na origem de raio
não depende de
. Além disso, devemos relacionar essa circulação com a constante
do potencial do vórtice.
Passo 2
A circulação ao longo de uma curva fechada
é definida por
Passo 3
Escolhemos
como a circunferência de raio
, parametrizada por
:
Passo 4
Num escoamento potencial de vórtice satisfazendo o item (b) da questão anterior, o potencial é dado por
Então o campo de velocidades em coordenadas polares
é
Passo 5
Na curva
, apenas o componente tangencial
contribui para
. Logo,
Note que não aparece
no resultado, mostrando a independência do raio.