Questão 4. Um vórtice bidimensional com centro na origem pode ser descrito pelo campo de velocidade
, sendo
. A partir das expressões para o divergente e o rotacional do campo de velocidade em coordenadas cilíndricas, mostre que esse escoamento:
(a) é uma singularidade na origem e;
(b) é irrotacional, exceto na origem, se
, sendo
constante.
(a) é uma singularidade na origem e;
(b) é irrotacional, exceto na origem, se
Passo 1
O enunciado dá um escoamento bidimensional em coordenadas cilíndricas
, com
e pede (a) mostrar que há singularidade na origem e (b) que o campo é irrotacional fora da origem quando
O conteúdo usado será as fórmulas de divergente e rotacional em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
A divergência em coordenadas cilíndricas para um campo
é
Como aqui
e
depende só de
, temos
Passo 3
Para
, ao nos aproximarmos de
temos
e a expressão de
, que envolve divisão por
, fica indefinida. Logo o campo é singular na origem.
Passo 4
O único componente não nulo do rotacional em 2D é o de
. Em coordenadas cilíndricas
Novamente
e
independe de
, então
Passo 5
Substituindo
obtemos
, constante. Assim
logo o campo é irrotacional em toda a região exceto na origem, onde a expressão falha.
Resposta
(a) O escoamento é singular na origem porque
diverge e as fórmulas de
e
ficam indefinidas em
.
(b) Para ,
, ou seja, o campo é irrotacional fora da origem.
(b) Para