Questão 4. Um vórtice bidimensional com centro na origem pode ser descrito pelo campo de velocidade \vec{V}=V_{\theta} \hat{e}_{\theta}, sendo V_{\theta}=V_{\theta}(r). A partir das expressões para o divergente e o rotacional do campo de velocidade em coordenadas cilíndricas, mostre que esse escoamento:
(a) é uma singularidade na origem e;
(b) é irrotacional, exceto na origem, se V_{\theta}=C / r, sendo C constante.

Passo 1

O enunciado dá um escoamento bidimensional em coordenadas cilíndricas (r,\theta), com
\vec V = V_\theta(r)\,\hat e_\theta,
e pede (a) mostrar que há singularidade na origem e (b) que o campo é irrotacional fora da origem quando
V_\theta(r)=\frac{C}{r}.
O conteúdo usado será as fórmulas de divergente e rotacional em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

A divergência em coordenadas cilíndricas para um campo \vec V=(V_r,V_\theta) é
\nabla\cdot\vec V =\frac{1}{r}\frac{\partial(rV_r)}{\partial r} +\frac{1}{r}\frac{\partial V_\theta}{\partial\theta}.
Como aqui V_r=0 e V_\theta depende só de r, temos
\nabla\cdot\vec V =\frac{1}{r}\cdot0 +\frac{1}{r}\cdot0 =0\quad(\text{para }r>0).

Passo 3

Para V_\theta=C/r, ao nos aproximarmos de r=0 temos V_\theta\to\infty e a expressão de \nabla\cdot\vec V, que envolve divisão por r, fica indefinida. Logo o campo é singular na origem.

Passo 4

O único componente não nulo do rotacional em 2D é o de z. Em coordenadas cilíndricas
(\nabla\times\vec V)_z =\frac{1}{r}\frac{\partial(rV_\theta)}{\partial r} -\frac{1}{r}\frac{\partial V_r}{\partial\theta}.
Novamente V_r=0 e V_\theta independe de \theta, então
(\nabla\times\vec V)_z =\frac{1}{r}\frac{d\bigl(r\,V_\theta(r)\bigr)}{dr}.

Passo 5

Substituindo V_\theta(r)=C/r obtemos r\,V_\theta(r)=C, constante. Assim
(\nabla\times\vec V)_z =\frac{1}{r}\,\frac{dC}{dr} =0 \quad(\text{para }r>0),
logo o campo é irrotacional em toda a região exceto na origem, onde a expressão falha.

Resposta

(a) O escoamento é singular na origem porque V_\theta=C/r diverge e as fórmulas de \nabla\cdot\vec V e \nabla\times\vec V ficam indefinidas em r=0.
(b) Para r>0, \nabla\times\vec V=0, ou seja, o campo é irrotacional fora da origem.

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