Questão 2. Construa um polinômio P de grau máximo dois tal que o método de Newton aplicado a P produza a seguinte sequência cíclica:
x_{0}=1, x_{1}=2, x_{2}=1, x_{3}=2, \ldots

Passo 1

O enunciado pede para achar um polinômio de grau no máximo dois, digamos
P(x)=a x^{2}+b x+c,
tal que a iteração de Newton
N(x)=x-\frac{P(x)}{P'(x)}
gere o ciclo \,x_{0}=1\to x_{1}=2\to x_{2}=1\to x_{3}=2\to\cdots.

Passo 2

Para garantir esse ciclo de período 2 precisamos de
N(1)=2 \quad\text{e}\quad N(2)=1.
Escrevendo N(x)=x-\dfrac{P(x)}{P'(x)}, isso dá as condições
1-\frac{P(1)}{P'(1)}=2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{P(1)}{P'(1)}=-1,
2-\frac{P(2)}{P'(2)}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{P(2)}{P'(2)}=1.

Passo 3

Calculemos
P(1)=a+b+c,\quad P'(1)=2a+b, \quad P(2)=4a+2b+c,\quad P'(2)=4a+b.
As condições viram
\frac{a+b+c}{2a+b}=-1 \;\Longrightarrow\; (a+b+c)+(2a+b)=0 \;\Longrightarrow\; 3a+2b+c=0,
\frac{4a+2b+c}{4a+b}=1 \;\Longrightarrow\; 4a+2b+c=4a+b \;\Longrightarrow\; b+c=0.

Passo 4

Do sistema
\begin{cases} 3a+2b+c=0,\\\ b+c=0, \end{cases}
vem de b+c=0 que c=-b. Substituindo em 3a+2b+c=0
3a+2b-b=0 \;\Longrightarrow\; 3a+b=0 \;\Longrightarrow\; b=-3a,
logo c=3a. Assim
P(x)=a\bigl(x^2-3x+3\bigr),
e, escolhendo a=1 para simplificar, obtemos o polinômio desejado.

Resposta

P(x)=x^2-3x+3

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