Exemplo: Obter uma aproximação para o zero de f(x)=e^{x}-2, com uma precisão menor que \epsilon=0.1, pelo método da bissecção.
A função f(x) tem um zero no intervalo (a, b)=(0,2). A partir disso obtemos f\left(a_{0}\right)=f(a)=-1.0 e f\left(b_{0}\right)=f(b) \approx 5.3890561.
O número de iteração n=I N T\left(\frac{\log \left(\left(b_{0}-a_{0}\right) / \varepsilon\right)}{\log (2)}\right)+1=\lfloor 4.32 \ldots\rfloor=5.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar o zero da função
f(x)=e^{x}-2
no intervalo (a,b)=(0,2) usando o método da bissecção, de modo que o erro seja menor que \epsilon=0{,}1. Para isso vamos: verificar que há mudança de sinal em f(a) e f(b), calcular o número mínimo de iterações n e aplicar o processo de bissecção até n.

Passo 2

Primeiro avaliamos
f(0)=e^0-2=1-2=-1,\quad f(2)=e^2-2\approx7{,}3891-2=5{,}3891,
confirmando que f(0) e f(2) têm sinais opostos.
O número n de iterações necessário para garantir (b-a)/2^n<\epsilon é
n=\left\lceil\frac{\log\bigl((b-a)/\epsilon\bigr)}{\log2}\right\rceil =\left\lceil\frac{\log(2/0{,}1)}{\log2}\right\rceil =\lceil4{,}3219\rceil=5.

Passo 3

Aplicamos então 5 iterações da bissecção:
Na iteração k=1, temos a_0=0, b_0=2,
c_1=\frac{0+2}{2}=1,\quad f(c_1)=e^1-2\approx0{,}7183>0
logo o novo intervalo é (a_1,b_1)=(0,1).
Na iteração k=2, a_1=0, b_1=1,
c_2=0{,}5,\quad f(c_2)=e^{0{,}5}-2\approx-0{,}3513<0
então (a_2,b_2)=(0{,}5,1).
Na iteração k=3, a_2=0{,}5, b_2=1,
c_3=0{,}75,\quad f(c_3)=e^{0{,}75}-2\approx0{,}1170>0
logo (a_3,b_3)=(0{,}5,0{,}75).
Na iteração k=4, a_3=0{,}5, b_3=0{,}75,
c_4=0{,}625,\quad f(c_4)=e^{0{,}625}-2\approx-0{,}1318<0
então (a_4,b_4)=(0{,}625,0{,}75).
Na iteração k=5, a_4=0{,}625, b_4=0{,}75,
c_5=0{,}6875,\quad f(c_5)=e^{0{,}6875}-2\approx-0{,}0113<0
portanto (a_5,b_5)=(0{,}6875,0{,}75).

Passo 4

Após 5 iterações obtemos
c_5=0{,}6875
e o erro máximo é
\frac{b_0-a_0}{2^5}=\frac{2}{32}=0{,}0625<0{,}1,
ou seja, a precisão exigida foi satisfeita.

Resposta

A aproximação do zero de f(x) pelo método da bissecção com \epsilon=0{,}1 é
x\approx0{,}6875.

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