Questão 1. Considere o sistema:
\left[\begin{array}{cc} 10^{-4} & 1 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} b_{1} \\\ b_{2} \end{array}\right]
onde b_{1} \neq 0 e b_{2} \neq 0. A solução exata é
x_{1}=\frac{-b_{1}+b_{2}}{1-10^{-4}}, \quad x_{2}=\frac{b_{1}-10^{-4} b_{2}}{1-10^{-4}} .
(a) Resolva o sistema acima tomando b_{1}=1 e b_{2}=2 por meio da eliminação de Gauss sem permutação, realizada com três dígitos significativos e arredondamento para o mais próximo.
(b) Calcule o erro relativo da solução obtida em (a) sabendo que a solução exata é x_{1} \approx 1,00 e x_{2} \approx 1,00.
(c) Repita as operações dos itens (a) e (b) utilizando pivotamento parcial simples.
(d) Determine valores de b_{1} e b_{2} de modo que a eliminação de Gauss sem permutação realizada com três dígitos significativos e arredondamento para o mais próximo possa conduzir à solução exata.

Passo 1

O enunciado dá um sistema
\begin{pmatrix} 10^{-4} & 1\\\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b_{1}\b_{2}\end{pmatrix},
com b_{1}\neq0, b_{2}\neq0. A solução exata é
x_{1}=\frac{-b_{1}+b_{2}}{1-10^{-4}},\quad x_{2}=\frac{b_{1}-10^{-4}b_{2}}{1-10^{-4}}.
Queremos:
(a) usar eliminação de Gauss sem permutação em aritmética de três dígitos significativos (DS) com arredondamento;
(b) calcular erro relativo sabendo que x_{1}\approx1{,}00, x_{2}\approx1{,}00;
(c) repetir com pivotamento parcial;
(d) achar b_{1},b_{2} que façam a eliminação sem permutação dar a solução exata em três DS.

Passo 2

(a) Eliminação sem permutação, três DS:
  1. Pivot a_{11}=10^{-4}. Multiplicador
m = \frac{a_{21}}{a_{11}} = \frac{1}{10^{-4}} = 1{.}00\times10^{4}.
  1. Atualiza
a'_{22} = \mathrm{fl}\bigl(1 - m\cdot1\bigr) = \mathrm{fl}(1 - 10^{4}) = \mathrm{fl}(-9999) = -1{.}00\times10^{4},
b'_{2} = \mathrm{fl}\bigl(2 - m\cdot1\bigr) = \mathrm{fl}(2 - 10^{4}) = \mathrm{fl}(-9998) = -1{.}00\times10^{4}.
  1. Retro-substituição:
x_{2} = \mathrm{fl}\Bigl(\frac{b'_{2}}{a'_{22}}\Bigr) = \mathrm{fl}\Bigl(\frac{-1{.}00\times10^{4}}{-1{.}00\times10^{4}}\Bigr) = 1{.}00,
x_{1} = \mathrm{fl}\Bigl(\frac{1 - 1\cdot x_{2}}{10^{-4}}\Bigr) = \mathrm{fl}\Bigl(\frac{1 - 1{.}00}{10^{-4}}\Bigr) = \mathrm{fl}(0) = 0{.}00.

Passo 3

(b) Erro relativo sabendo x_{1}^{\mathrm{ex}}=1{,}00, x_{2}^{\mathrm{ex}}=1{,}00:
\varepsilon_{1} = \frac{|0{.}00 - 1{,}00|}{1{,}00} = 1{,}00,\quad \varepsilon_{2} = \frac{|1{.}00 - 1{,}00|}{1{,}00} = 0{.}00.

Passo 4

(c) Com pivotamento parcial simples, três DS:
  1. Compara |a_{11}|=10^{-4}, |a_{21}|=1 e troca linhas. O novo primeiro pivô é 1.
  2. Multiplicador
m = \frac{10^{-4}}{1} = 1{.}00\times10^{-4}.
  1. Atualiza
a'_{22} = \mathrm{fl}\bigl(1 - m\cdot1\bigr) = \mathrm{fl}(1 - 10^{-4}) = 1{.}00,
b'_{2} = \mathrm{fl}\bigl(1 - m\cdot2\bigr) = \mathrm{fl}(1 - 2\times10^{-4}) = 1{.}00.
  1. Retro-substituição dá
x_{2} = \frac{1{.}00}{1{.}00} = 1{.}00,\quad x_{1} = \frac{2 - 1{.}00}{1} = 1{.}00.
Erros relativos zero.

Passo 5

(d) Para que, sem permutação e três DS, a eliminação dê exatamente a solução, basta anular b'_{2}=b_{2}-m\,b_{1} antes do arredondamento:
b_{2}-10^{4}b_{1}=0 \quad\Longrightarrow\quad b_{2}=10^{4}b_{1}.

Resposta

(a) x_{1}=0{,}00,\;x_{2}=1{,}00.
(b) \varepsilon_{1}=1{,}00, \varepsilon_{2}=0{,}00.
(c) Com pivotamento: x_{1}=1{,}00,\;x_{2}=1{,}00; erros relativos nulos.
(d) Qualquer b_{1}\neq0 e b_{2}=10^{4}b_{1}.

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