Questão 1 - Uma corda de massa M e comprimento L está na vertical, com suas duas extremidades presas, uma ao teto e outra ao chão. A tensão da corda no seu ponto mais baixo vale T_{0}. O campo gravitacional define a direção vertical, é uniforme e com intensidade g. Na resolução dos ítens abaixo, um eixo vertical usado para medir a altura y, deve ser escolhido com a origem ( y=0 ) na extremidade inferior da corda e orientado \operatorname{com} y>0 acima do chão (orientado para cima).
(a) Derive a equação diferencial parcial que governa as ocilações transversais da corda quando ela é homogênea. (VALOR MÁXIMO: 2.0 pontos)
(b) Suponha que (para alguma densidade, variável com y ou não) a equação de onda desta corda admita solução na forma
\psi(y, t)=\sum_{k} \phi_{k}(t) \sin (k y) .
Calcule os valores possíveis de k. (VALOR MÁXIMO: 2.0 pontos)
Dica - Força sobre um elemento de massa infinitesimal da corda, dm, localizado na posição longitudinal y, com deslocamento transversal \psi(y, t) e tensão T(y) :
d m \frac{\partial^{2} \psi}{\partial t^{2}}=\left[T \frac{\partial \psi}{\partial y}\right]_{y+d y}-\left[T \frac{\partial \psi}{\partial y}\right]_{y}

Passo 1

O enunciado trata de uma corda homogênea de massa total M e comprimento L, pendurada verticalmente com as extremidades fixas (no chão em y=0 e no teto em y=L). Devido ao peso da parte acima de y, a tensão varia com y. Queremos a equação de pequenas oscilações transversais \psi(y,t). Vamos usar Newton para um elemento de massa infinitesimal \mathrm{d}m=\lambda\,\mathrm{d}y, onde \lambda=M/L é a densidade linear, e a expressão sugerida
\mathrm{d}m\;\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2} =\bigl[T(y)\,\partial_y\psi\bigr]_{y+\mathrm{d}y}-\bigl[T(y)\,\partial_y\psi\bigr]_{y}.

Passo 2

Escrevemos a tensão em função de y. A tensão na base é T_0 e ela cresce com o peso de \lambda\,\mathrm{d}y abaixo de y, logo
T(y)=T_0+\int_{0}^{y}\lambda\,g\,\mathrm{d}y =T_0+\lambda\,g\,y.
Substituindo no balanço de forças e dividindo por \mathrm{d}y, obtemos
\lambda\,\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2} =\frac{1}{\mathrm{d}y}\Bigl[T(y+\mathrm{d}y)\,\partial_y\psi(y+\mathrm{d}y) - T(y)\,\partial_y\psi(y)\Bigr] \;\xrightarrow{\mathrm{d}y\to0}\; \partial_y\bigl[T(y)\,\partial_y\psi\bigr].

Passo 3

A equação de onda fica então
\lambda\,\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2} =\partial_y\bigl[(T_0+\lambda g y)\,\partial_y\psi\bigr].
Podemos deixar na forma expandida:
\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2} =\frac{T_0+\lambda g y}{\lambda}\,\frac{\partial^2\psi}{\partial y^2} +g\,\frac{\partial\psi}{\partial y}.

Passo 4

Para o item (b), supondo solução em modos \psi(y,t)=\sum_k\phi_k(t)\sin(ky), impomos as condições de contorno nas extremidades fixas: \psi(0,t)=0 (já satisfeito por \sin(0)=0) e \psi(L,t)=0 \Rightarrow \sin(kL)=0.

Passo 5

Da condição \sin(kL)=0 vem
kL=n\pi, \quad n=1,2,3,\dots
ou seja
k_n=\frac{n\pi}{L}.

Resposta

(a) \displaystyle \lambda\,\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2} =\partial_y\bigl[(T_0+\lambda g y)\,\partial_y\psi\bigr]. (b) \displaystyle k_n=\frac{n\pi}{L},\quad n=1,2,3,\dots

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