Questão 2
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Determine o coeficiente c da equação do círculo, x^2+y^2+a x+b y+c=0, que passa pelos pontos P1=(-2,7), P2=(-4,5) e P3=(4,-3).
Resposta: square -29
A resposta correta é: -29

Passo 1

O enunciado pede o valor do coeficiente c na equação geral do círculo
x^2+y^2+a x+b y+c=0
sabendo que ele passa pelos pontos P1=(-2,7), P2=(-4,5) e P3=(4,-3).
Para resolver, vamos substituir cada ponto na equação do círculo, obter um sistema linear em a,b,c, eliminar a e b e encontrar c.

Passo 2

Substituindo P1=(-2,7) em x^2+y^2+a x+b y+c=0 obtemos
(-2)^2 + 7^2 + a(-2) + b,(7) + c = 0
que simplifica para
-2a + 7b + c = -53
Substituindo P2=(-4,5) temos
(-4)^2 + 5^2 + a(-4) + b,(5) + c = 0
ou seja
-4a + 5b + c = -41
Por fim, para P3=(4,-3)
4^2 + (-3)^2 + a,(4) + b(-3) + c = 0
resultando em
4a - 3b + c = -25

Passo 3

Agora subtraímos pares de equações para eliminar c.
De
l(-2a + 7b + cr) - l(-4a + 5b + cr) = -53 - (-41)
vem
2a + 2b = -12 Longrightarrow a + b = -6
E de
l(-4a + 5b + cr) - l(4a - 3b + cr) = -41 - (-25)
vem
-8a + 8b = -16 Longrightarrow -b + a = 2 Longrightarrow b = a - 2
Substituindo b = a - 2 em a + b = -6
a + (a - 2) = -6 Longrightarrow 2a = -4 Longrightarrow a = -2,
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b = -2 - 2 = -4

Passo 4

Com a=-2 e b=-4, usamos a primeira equação
-2a + 7b + c = -53
que se torna
-2(-2) + 7(-4) + c = -53 Longrightarrow 4 - 28 + c = -53 Longrightarrow c = -53 + 24 = -29

Resposta

-29

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