Questão 3
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Determine o valor de k para que o sistema -4 y+3 z & =1 4 x-2 z & =2 -3 x+2 y & =2-k seja indeterminado.
Resposta: square 4
A resposta correta é: 4

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
-4y + 3z = 1, 4x - 2z = 2, -3x + 2y = 2 - k,
e pede o valor de k para que o sistema seja indeterminado (infinitas soluções). Vamos usar teoria de determinantes e postos de matriz para caracterizar sistema indeterminado.

Passo 2

Montamos a matriz dos coeficientes
A = 0 & -4 & 3 4 & 0 & -2 -3 & 2 & 0
e calculamos seu determinante por desenvolvimento na primeira linha:
det(A) =0cdotdet0 & -22 & 0 -(-4)cdotdet4 & -2-3 & 0 +3cdotdet4 & 0-3 & 2
Isso dá
det(A) =4l(4cdot0 - (-2)cdot(-3)r) +3l(4cdot2 - 0cdot(-3)r) =-24 +24 = 0
Portanto det(A)=0 e a matriz é singular.

Passo 3

Como det(A)=0, o posto de A satisfaz rank(A)<=2. Para o sistema ter infinitas soluções (ser indeterminado) precisamos ainda que o posto da matriz ampliada coincida com o posto de A, ou seja, rank(A)=rank([Amid b])<3. Aqui ;b=(1,2,2-k)^T.

Passo 4

Buscamos ver se a terceira equação é combinação linear das duas primeiras no sistema homogêneo. Procuramos alpha,beta tais que
(-3,,2,,0) =alpha,(0,-4,3)+beta,(4,0,-2)
Pela coordenada de x: -3=4beta beta=-tfrac34. Pela de y: 2=-4alpha alpha=-tfrac12. Verificamos na de z:
alphacdot3 + betacdot(-2) =-tfrac12cdot3 +(-tfrac34)cdot(-2) =-tfrac32 +tfrac32 =0,
compatível.

Passo 5

Para consistência, o mesmo alpha,beta deve valer para as constantes:
2-k = alphacdot1 + betacdot2 =-tfrac12cdot1 +(-tfrac34)cdot2 =-tfrac12 -tfrac32 = -2
Logo
2 - k = -2 Longrightarrow k = 4

Resposta

4

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