Determine o valor de para que o sistema seja indeterminado.
Resposta: square 4
A resposta correta é: 4
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear
-4y + 3z = 1, 4x - 2z = 2, -3x + 2y = 2 - k,
e pede o valor de k para que o sistema seja indeterminado (infinitas soluções). Vamos usar teoria de determinantes e postos de matriz para caracterizar sistema indeterminado.
Passo 2
Montamos a matriz dos coeficientes
A = 0 & -4 & 3 4 & 0 & -2 -3 & 2 & 0
e calculamos seu determinante por desenvolvimento na primeira linha:
Como det(A)=0, o posto de A satisfaz rank(A)<=2. Para o sistema ter infinitas soluções (ser indeterminado) precisamos ainda que o posto da matriz ampliada coincida com o posto de A, ou seja, rank(A)=rank([Amid b])<3. Aqui ;b=(1,2,2-k)^T.
Passo 4
Buscamos ver se a terceira equação é combinação linear das duas primeiras no sistema homogêneo. Procuramos alpha,beta tais que
(-3,,2,,0) =alpha,(0,-4,3)+beta,(4,0,-2)
Pela coordenada de x: -3=4beta dá beta=-tfrac34. Pela de y: 2=-4alpha dá alpha=-tfrac12. Verificamos na de z: