Seu trabalho é construir os gráficos das parábolas representadas pelas funções quadráticas a seguir:
f(x)=-3 x^{2}+6 x+9

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função quadrática
f(x) = -3x^{2} + 6x + 9.
Aqui vamos usar conceitos de parábola: vértice, eixo de simetria, interceptos com os eixos e concavidade.

Passo 2

Calcular o vértice usando a fórmula
x_{v} = -\frac{b}{2a},
onde a=-3 e b=6. Assim,
x_{v} = -\frac{6}{2\cdot(-3)} = 1.
E o valor y_{v}=f(1):
y_{v} = -3\cdot1^{2} + 6\cdot1 + 9 = -3 + 6 + 9 = 12.
Logo, o vértice é (1,12).

Passo 3

O eixo de simetria é a reta vertical que passa pelo vértice:
x = 1.

Passo 4

Encontrar os interceptos com os eixos:
Intercepto em y: basta x=0,
f(0) = 9,
logo ponto (0,9).
Interceptos em x: resolver
-3x^{2} + 6x + 9 = 0.
Dividindo por -3:
x^{2} - 2x - 3 = 0
que dá
x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2},
ou seja x=3 e x=-1. Pontos (3,0) e (-1,0).

Passo 5

Como a=-3<0, a parábola tem concavidade para baixo (abertura voltada para baixo).

Passo 6

Para confirmar o formato simétrico, note que em x=2 temos
f(2) = -3\cdot4 + 12 + 9 = -12 + 21 = 9,
o mesmo valor de f(0). Assim os pontos (0,9) e (2,9) são simétricos em relação a x=1.

Resposta

O gráfico é uma parábola com concavidade para baixo, vértice em (1,12), eixo de simetria x=1, interceptos em (-1,0), (3,0) e (0,9) (também (2,9) por simetria). Basta ligar esses pontos e traçar a forma característica da parábola.

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