Questão 2 (3,5). Um criador de coelhos possui duas gaiolas, a primeira com três coelhos brancos e dois pretos e a segunda com cinco brancos e três pretos. Por descuido um coelho passa da primeira para a segunda gaiola. Se um coelho é retirado aleatoriamente da segunda gaiola, calcule:
a) a probabilidade de que ele seja preto.
b) a probabilidade de que o coelho que fugiu da primeira gaiola seja branco, sabendo que o coelho retirado da segunda gaiola é preto.
a) a probabilidade de que ele seja preto.
b) a probabilidade de que o coelho que fugiu da primeira gaiola seja branco, sabendo que o coelho retirado da segunda gaiola é preto.
Passo 1
O enunciado fala de duas gaiolas com coelhos: a primeira tinha 3 brancos e 2 pretos e a segunda tinha 5 brancos e 3 pretos. Um coelho foge da primeira para a segunda, e então retiramos um coelho da segunda. Precisamos achar a probabilidade de extrair um coelho preto e, em seguida, a probabilidade de que o coelho que fugiu seja branco dado que extraímos um preto. Vamos usar a lei da probabilidade total e o teorema de Bayes.
Passo 2
Definimos o evento
=cor do coelho transferido. Como existem 3 brancos e 2 pretos na primeira gaiola,
e
. Dependendo da cor transferida, a segunda gaiola passa a ter: se transferiu branco então 6 brancos e 3 pretos; se transferiu preto então 5 brancos e 4 pretos.
Passo 3
Calculamos a probabilidade de extrair um coelho preto em cada cenário:
Se então
Se
Se
Passo 4
Agora aplicamos a lei da probabilidade total para
:
Passo 5
Substituindo os valores:
Passo 6
Por fim, usamos o teorema de Bayes para
:
Resposta
a)
; b)
.