Questão 2 (3,5). Um criador de coelhos possui duas gaiolas, a primeira com três coelhos brancos e dois pretos e a segunda com cinco brancos e três pretos. Por descuido um coelho passa da primeira para a segunda gaiola. Se um coelho é retirado aleatoriamente da segunda gaiola, calcule:
a) a probabilidade de que ele seja preto.
b) a probabilidade de que o coelho que fugiu da primeira gaiola seja branco, sabendo que o coelho retirado da segunda gaiola é preto.

Passo 1

O enunciado fala de duas gaiolas com coelhos: a primeira tinha 3 brancos e 2 pretos e a segunda tinha 5 brancos e 3 pretos. Um coelho foge da primeira para a segunda, e então retiramos um coelho da segunda. Precisamos achar a probabilidade de extrair um coelho preto e, em seguida, a probabilidade de que o coelho que fugiu seja branco dado que extraímos um preto. Vamos usar a lei da probabilidade total e o teorema de Bayes.

Passo 2

Definimos o evento T=cor do coelho transferido. Como existem 3 brancos e 2 pretos na primeira gaiola,
Pr(T=branco)=3/5 e Pr(T=preto)=2/5. Dependendo da cor transferida, a segunda gaiola passa a ter: se transferiu branco então 6 brancos e 3 pretos; se transferiu preto então 5 brancos e 4 pretos.

Passo 3

Calculamos a probabilidade de extrair um coelho preto em cada cenário:
Se T=branco então
Pr(pretomid T=branco) = 36+3 = 39 = 13
Se T=preto então
Pr(pretomid T=preto) = 45+4 = 49

Passo 4

Agora aplicamos a lei da probabilidade total para Pr(preto):
Pr(preto) = Pr(T=branco)cdot Pr(pretomid T=branco) + Pr(T=preto)cdot Pr(pretomid T=preto)

Passo 5

Substituindo os valores:
Pr(preto) = 35cdot13 + 25cdot49 = 15 + 845 = 9+845 = 1745

Passo 6

Por fim, usamos o teorema de Bayes para Pr(T=brancomid preto):
Pr(T=brancomid preto) = Pr(T=branco)cdotPr(pretomid T=branco)Pr(preto) = tfrac35cdottfrac13tfrac1745 = tfrac15tfrac1745 = 15cdot4517 = 917

Resposta

a) tfrac1745; b) tfrac917.

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