Questão 3 (3,5) Em uma urna existem doze bolas iguais em tamanho e peso, das quais sete são vermelhas e cinco são pretas. Entre as bolas vermelhas, três têm uma mancha branca. Se quatro bolas são retiradas aleatoriamente desta urna, determine a probabilidade de:
b) pelo menos três serem vermelhas (com ou sem mancha branca);
b) pelo menos três serem vermelhas (com ou sem mancha branca);
Passo 1
No enunciado, a gente tem uma urna com 12 bolas: 7 vermelhas (sendo 3 com mancha branca e 4 sem) e 5 pretas. A gente retira 4 bolas sem reposição e quer achar a probabilidade de sair pelo menos 3 vermelhas. O conteúdo envolvido é combinação e distribuição hipergeométrica.
Passo 2
Vamos definir a variável aleatória
como o número de bolas vermelhas na nossa amostra de tamanho
. Na distribuição hipergeométrica, temos a fórmula:
onde
é o total de bolas,
é o total de bolas vermelhas e
é o número de vermelhas que queremos.
Passo 3
Agora calculamos a probabilidade de exatamente 3 vermelhas:
Passo 4
Em seguida, a probabilidade de exatamente 4 vermelhas:
Passo 5
Por fim, somamos para obter pelo menos 3 vermelhas: