Questão 3 (3,5) Em uma urna existem doze bolas iguais em tamanho e peso, das quais sete são vermelhas e cinco são pretas. Entre as bolas vermelhas, três têm uma mancha branca. Se quatro bolas são retiradas aleatoriamente desta urna, determine a probabilidade de:
b) pelo menos três serem vermelhas (com ou sem mancha branca);

Passo 1

No enunciado, a gente tem uma urna com 12 bolas: 7 vermelhas (sendo 3 com mancha branca e 4 sem) e 5 pretas. A gente retira 4 bolas sem reposição e quer achar a probabilidade de sair pelo menos 3 vermelhas. O conteúdo envolvido é combinação e distribuição hipergeométrica.

Passo 2

Vamos definir a variável aleatória X como o número de bolas vermelhas na nossa amostra de tamanho n=4. Na distribuição hipergeométrica, temos a fórmula:
P(X=k) = binomKk,binomN-Kn-kbinomNn,
onde N=12 é o total de bolas, K=7 é o total de bolas vermelhas e k é o número de vermelhas que queremos.

Passo 3

Agora calculamos a probabilidade de exatamente 3 vermelhas:
P(X=3) = binom73,binom51binom124 = 35 cdot 5495 = 175495

Passo 4

Em seguida, a probabilidade de exatamente 4 vermelhas:
P(X=4) = binom74,binom50binom124 = 35 cdot 1495 = 35495

Passo 5

Por fim, somamos para obter pelo menos 3 vermelhas:
P(X >= 3) = P(X=3) + P(X=4) = 175495 + 35495 = 210495 = 1433

Resposta

1433

Exercícios relacionados