Questão 3. ( \mathbf{2 , 0} pontos) Determine equações simétricas da reta r que contém o ponto P=(2,0,3), onde r é perpendicular ao plano
\pi: X=(5,-2,1)+\alpha(1,0,-2)+\beta(0,1,1) .

Passo 1

O enunciado pede as equações simétricas da reta r que passa por P=(2,0,3) e é perpendicular ao plano
\pi:\;X = (5,-2,1) + \alpha\,(1,0,-2) + \beta\,(0,1,1).
Para isso, vamos encontrar o vetor normal \mathbf{n} do plano e usar \mathbf{n} como vetor diretor de r.

Passo 2

Os vetores diretores do plano são
\mathbf{v}_1 = (1,0,-2), \qquad \mathbf{v}_2 = (0,1,1).
O vetor normal \mathbf{n} é dado pelo produto vetorial
\mathbf{n} =\mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2 =(1,0,-2)\times(0,1,1) =(2,-1,1).

Passo 3

Como r passa por P=(2,0,3) e tem vetor diretor \mathbf{n}=(2,-1,1), as equações paramétricas são
x = 2 + 2t,\quad y = 0 - 1t,\quad z = 3 + 1t.
Convertendo para forma simétrica, obtemos
\frac{x-2}{2} \;=\;\frac{y-0}{-1}\;=\;\frac{z-3}{1}.

Resposta

\frac{x-2}{2} \;=\;\frac{y}{-1}\;=\;\frac{z-3}{1}.

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