QUESTÃO 2
Dada a função
:
a1) É possível afirmar que há pelo menos uma raiz no intervalo
? Por que?
a2) Encontre a raiz da função
dentro do intervalo
com precisão
ou
, utilizando o método de Newton com aproximação inicial
, arredondando cada iteração/cálculo com 6 casas decimais, apresentando os resultados de acordo com a tabela abaixo.
Obs: Cuidado com cálculo da derivada, lembrem que
Dada a função
a1) É possível afirmar que há pelo menos uma raiz no intervalo
a2) Encontre a raiz da função
Obs: Cuidado com cálculo da derivada, lembrem que
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- a1) Verificar se existe pelo menos uma raiz em
e justificar. - a2) Encontrar a raiz em
usando o método de Newton com aproximação inicial , parando quando atingir precisão ou . Importante: arredondar cada iteração/cálculo com 6 casas decimais.
Dados fixos fornecidos: função, , , .
Passo 2
Primeiro vamos verificar a existência de raiz em
. A ideia é aplicar o Teorema do Valor Intermediário: se
é contínua em
e
e
têm sinais opostos, então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Calculamos:
Calculamos:
Como
e
, há troca de sinal. A função é composta por
e
, ambas contínuas, logo
é contínua. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz em
.
Passo 3
Agora vamos ao método de Newton. Relembrando a fórmula:
Precisamos da derivada
. Calculamos termo a termo:
-
. -
.
Portanto
Explicando:
gera o fator
por regra da cadeia;
vira
.
Passo 4
Critério de parada: o enunciado dá duas precisões
e
(ambas
). Vou adotar a regra prática pedida: parar quando pelo menos uma das condições for satisfeita:
-
ou -
.
Também obedecerei estritamente a regra de arredondar cada iteração/cálculo a 6 casas decimais: isto significa que em cada iteração eu tomocom 6 casas, calculo e e os arredondo a 6 casas, divido esses arredondados para obter o quociente e o arredondo a 6 casas, e então obtenho e o arredondo a 6 casas. Esse procedimento é o solicitado pelo enunciado.
Passo 5
Montamos a tabela iterativa (cada valor apresentado já está arredondado a 6 casas decimais conforme pedido). Começamos com
.
Iteração
:
-
. - Calculamos
. Avaliando e arredondando: (detalhe: é muito pequeno ( ), o termo dominante é .) - Calculamos
. - Dividimos (usando os valores arredondados):
. - Atualizamos:
.
Resumo da iteração
(valores com 6 casas):
Passo 6
Iteração
:
-
(valor arredondado da iteração anterior). - Calculamos
. Aproximação e arredondamento: (explicação curta: está muito próximo de , onde zera; o valor de fica ~ e é muito menor, então fica negativo e pequeno.) - Calculamos
. - Dividimos (usando valores arredondados):
. - Atualizamos:
.
Resumo da iteração
(valores com 6 casas):
Passo 7
Verificação do critério de parada após a iteração 2:
- Diferença entre iterações:
, que é maior que . - Avaliando
com : calculando e arredondando a 6 casas obtemos (na prática é da ordem de , ou seja ). Portanto .
Como uma das condições de parada () já foi satisfeita, paramos o método. Observação: o valor obtido é idêntico, até 6 casas, a (que é ), e essa é a raiz dentro do intervalo observada com a precisão pedida.
Resposta
a1) Sim.
a2)
a2)