QUESTÃO 2
Dada a função f(x)=e^{-x^{2}}-\cos (x) :
a1) É possível afirmar que há pelo menos uma raiz no intervalo [4,5] ? Por que? (\mathbf{0 , 4})
a2) Encontre a raiz da função f(x) dentro do intervalo [4,5] com precisão \epsilon_{1}=10^{-4} ou \epsilon_{2}=10^{-4}, utilizando o método de Newton com aproximação inicial x_{o}=4.500000, arredondando cada iteração/cálculo com 6 casas decimais, apresentando os resultados de acordo com a tabela abaixo. (1,8)
Obs: Cuidado com cálculo da derivada, lembrem que \left(\boldsymbol{e}^{\boldsymbol{u}}\right)^{\prime}=\boldsymbol{e}^{\boldsymbol{u}} \cdot \boldsymbol{u}^{\prime} \mathbf{e}(\boldsymbol{\operatorname { c o s }}(\boldsymbol{u}))^{\prime}= -\operatorname{sen}(u) \cdot u^{\prime}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=e^{-x^{2}}-\cos(x) e pede duas coisas:
  • a1) Verificar se existe pelo menos uma raiz em [4,5] e justificar.
  • a2) Encontrar a raiz em [4,5] usando o método de Newton com aproximação inicial x_{0}=4,500000, parando quando atingir precisão \epsilon_{1}=10^{-4} ou \epsilon_{2}=10^{-4}. Importante: arredondar cada iteração/cálculo com 6 casas decimais.
    Dados fixos fornecidos: função f, x_{0}=4,500000, \epsilon_{1}=10^{-4}, \epsilon_{2}=10^{-4}.

Passo 2

Primeiro vamos verificar a existência de raiz em [4,5]. A ideia é aplicar o Teorema do Valor Intermediário: se f é contínua em [4,5] e f(4) e f(5) têm sinais opostos, então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Calculamos:
f(4)=e^{-4^{2}}-\cos(4)=e^{-16}-\cos(4)\approx 1{,}1253517\cdot 10^{-7}-(-0{,}653643621)=0{,}653643733
f(5)=e^{-5^{2}}-\cos(5)=e^{-25}-\cos(5)\approx 1{,}3887944\cdot 10^{-11}-0{,}283662185=-0{,}283662185
Como f(4)\approx 0{,}653643733>0 e f(5)\approx -0{,}283662185<0, há troca de sinal. A função é composta por e^{-x^{2}} e -\cos x, ambas contínuas, logo f é contínua. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz em [4,5].

Passo 3

Agora vamos ao método de Newton. Relembrando a fórmula:
\text{Newton:}\qquad x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Precisamos da derivada f'(x). Calculamos termo a termo:
  • \big(e^{-x^{2}}\big)'=e^{-x^{2}}\cdot(-2x)=-2x\,e^{-x^{2}}.
  • \big(-\cos x\big)'=-(-\sin x)=\sin x.
    Portanto
f'(x)=-2x\,e^{-x^{2}}+\sin x.
Explicando: e^{-x^2} gera o fator -2x por regra da cadeia; -\cos x vira \sin x.

Passo 4

Critério de parada: o enunciado dá duas precisões \epsilon_{1} e \epsilon_{2} (ambas 10^{-4}). Vou adotar a regra prática pedida: parar quando pelo menos uma das condições for satisfeita:
  • |x_{n+1}-x_{n}|<\epsilon_{1} ou
  • |f(x_{n+1})|<\epsilon_{2}.
    Também obedecerei estritamente a regra de arredondar cada iteração/cálculo a 6 casas decimais: isto significa que em cada iteração eu tomo x_{n} com 6 casas, calculo f(x_{n}) e f'(x_{n}) e os arredondo a 6 casas, divido esses arredondados para obter o quociente e o arredondo a 6 casas, e então obtenho x_{n+1} e o arredondo a 6 casas. Esse procedimento é o solicitado pelo enunciado.

Passo 5

Montamos a tabela iterativa (cada valor apresentado já está arredondado a 6 casas decimais conforme pedido). Começamos com x_{0}=4,500000.
Iteração n=0:
  • x_{0}=4,500000.
  • Calculamos f(x_{0})=e^{-4{,}5^{2}}-\cos(4{,}5). Avaliando e arredondando: f(x_{0})\approx 0{,}210796.(detalhe: e^{-20{,}25} é muito pequeno ( \sim 1{,}6\cdot 10^{-9}), o termo dominante é -\cos(4{,}5).)
  • Calculamos f'(x_{0})=-2\cdot 4{,}5\,e^{-20{,}25}+\sin(4{,}5)\approx -0{,}977530.
  • Dividimos (usando os valores arredondados): \dfrac{f(x_{0})}{f'(x_{0})}\approx \dfrac{0{,}210796}{-0{,}977530}\approx -0{,}215670.
  • Atualizamos: x_{1}=x_{0}-\dfrac{f(x_{0})}{f'(x_{0})}=4{,}500000-(-0{,}215670)=4{,}715670.
Resumo da iteração 0\to1 (valores com 6 casas):
x_{0}=4{,}500000,\quad f(x_{0})=0{,}210796,\quad f'(x_{0})=-0{,}977530,\quad x_{1}=4{,}715670.

Passo 6

Iteração n=1:
  • x_{1}=4{,}715670 (valor arredondado da iteração anterior).
  • Calculamos f(x_{1})=e^{-x_{1}^{2}}-\cos(x_{1}). Aproximação e arredondamento: f(x_{1})\approx -0{,}003281.(explicação curta: x_{1} está muito próximo de 3\pi/2\approx 4{,}712389, onde \cos zera; o valor de \cos(x_{1}) fica ~ 0{,}003281 e e^{-x_{1}^2} é muito menor, então f(x_{1}) fica negativo e pequeno.)
  • Calculamos f'(x_{1})=-2x_{1}e^{-x_{1}^{2}}+\sin(x_{1})\approx -0{,}999995.
  • Dividimos (usando valores arredondados): \dfrac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}\approx \dfrac{-0{,}003281}{-0{,}999995}\approx 0{,}003281.
  • Atualizamos: x_{2}=x_{1}-\dfrac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}=4{,}715670-0{,}003281=4{,}712389.
Resumo da iteração 1\to2 (valores com 6 casas):
x_{1}=4{,}715670,\quad f(x_{1})=-0{,}003281,\quad f'(x_{1})=-0{,}999995,\quad x_{2}=4{,}712389.

Passo 7

Verificação do critério de parada após a iteração 2:
  • Diferença entre iterações: |x_{2}-x_{1}|=|4{,}712389-4{,}715670|=0{,}003281, que é maior que \epsilon_{1}=10^{-4}.
  • Avaliando f(x_{2}) com x_{2}=4{,}712389: calculando f(x_{2})=e^{-x_{2}^{2}}-\cos(x_{2}) e arredondando a 6 casas obtemos f(x_{2})\approx -0{,}000000(na prática f(x_{2}) é da ordem de 10^{-8}, ou seja |f(x_{2})|\ll 10^{-4}). Portanto |f(x_{2})|<\epsilon_{2}=10^{-4}.
    Como uma das condições de parada ( |f(x_{2})|<\epsilon_{2}) já foi satisfeita, paramos o método. Observação: o valor obtido x_{2}=4{,}712389 é idêntico, até 6 casas, a 3\pi/2 (que é 4{,}712389\ldots), e essa é a raiz dentro do intervalo observada com a precisão pedida.

Resposta

a1) Sim.
a2) x\approx 4{,}712389

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