QUESTÃO 2
Seja a função
.
b1) Determine uma aproximação, com precisão
, da raiz de
em
, usando o Método da Bissecção. Indique ainda o erro aproximado cometido. (Valor:
)
b2) Determine a quantidade mínima de iterações necessárias para se obter uma aproximação, com precisão
, da raiz de
do item (b1), no intervalo
, usando o Método da Bissecção; (Valor: 0,5)
Seja a função
b1) Determine uma aproximação, com precisão
b2) Determine a quantidade mínima de iterações necessárias para se obter uma aproximação, com precisão
Passo 1
Enunciado e dados importantes (resumido e claro):
- Função dada:
. - Item (b1): aproximar a raiz de
no intervalo com precisão usando o Método da Bissecção; indicar o erro aproximado cometido. - Item (b2): determinar a quantidade mínima de iterações necessárias para obter aproximação com precisão
da raiz do item (b1), agora considerando o intervalo , também pelo Método da Bissecção.
Observação: a resolução efetiva começa no próximo passo.
Passo 2
Conceito e fórmula do Método da Bissecção (aula curta e prática).
- Condição para aplicar: se
é contínua em e , existe pelo menos uma raiz em . - Procedimento: em cada iteração calculamos o ponto médio
. Se a raiz fica em , senão em . Repetimos. - Cota de erro: depois de
iterações obtemos um intervalo de comprimento
Se escolhemos como aproximação o ponto médio
, então o erro absoluto satisfa
e
Esta fórmula dá um limite garantido para o erro (é a que usaremos abaixo).
- Vamos, primeiro, verificar a hipótese de existência de raiz em
e em seguida aplicar a bissecção.
Passo 3
Verificação do sinal em
(mostrando que dá para aplicar o método).
- Calcular
:
- Calcular
: usamos ,
Como
, existe pelo menos uma raiz em
. Podemos aplicar a bissecção.
Passo 4
Aplicação prática da Bissecção em
— iterações manuais até atingir a precisão pedida.
Definimos e
.
Iteração 1:
Definimos
Iteração 1:
Avaliaremos
. Usando
,
Como
é negativo e
é positivo, a raiz está em
.
Iteração 2:
Iteração 2:
Usando
,
Como
(em
) é negativo e
é positivo, a raiz está em
.
Parámos aqui porque vamos verificar a cota de erro com iterações.
Parámos aqui porque vamos verificar a cota de erro com
Passo 5
Cálculo da cota de erro e verificação da precisão pedida (continuação do item b1).
- A cota de erro para a aproximação
é
- Como
, a precisão exigida é alcançada com iterações.
- A aproximação (escolhida como o ponto médio do intervalo atual
) é
- Podemos calcular o valor de
nesse ponto para ter uma noção do resíduo:
Isto é só um resíduo; a garantia que nos interessa é a cota do erro absoluto
.
Passo 6
Resposta ao item (b1) — resumo final do procedimento e do erro aproximado.
- Aproximação da raiz em
obtida por bissecção com a precisão pedida: . - Erro aproximado (cota garantida) cometido:
(que satisfaz ).
Agora vamos ao item (b2).
Passo 7
Cálculo do número mínimo de iterações necessário em
para a precisão
(item b2).
Usamos a mesma cota de erro: depois de iterações a aproximação
satisfaz
Usamos a mesma cota de erro: depois de
Queremos
Resolver:
Tomando logaritmo base 2:
Portanto o menor inteiro
que satisfaz é
.
Verificação rápida: com ,
Verificação rápida: com
enquanto
daria uma cota maior que
. Logo
.
Resposta
(b1)
com erro aproximado (cota)
\n
(b2) número mínimo de iterações
(b2) número mínimo de iterações