QUESTÃO 2
Seja a função f(x)=x e^{-x}-e^{-3}.
b1) Determine uma aproximação, com precisão \varepsilon \leq 4.10^{-2}, da raiz de f(x) em [0,0.3], usando o Método da Bissecção. Indique ainda o erro aproximado cometido. (Valor: \mathbf{1 , 0} )
b2) Determine a quantidade mínima de iterações necessárias para se obter uma aproximação, com precisão \varepsilon_{1} \leq 10^{-3}, da raiz de f(x) do item (b1), no intervalo [0,50], usando o Método da Bissecção; (Valor: 0,5)

Passo 1

Enunciado e dados importantes (resumido e claro):
  • Função dada: f(x)=x e^{-x}-e^{-3}.
  • Item (b1): aproximar a raiz de f no intervalo [0,0,3] com precisão \varepsilon \leq 4\cdot 10^{-2} usando o Método da Bissecção; indicar o erro aproximado cometido.
  • Item (b2): determinar a quantidade mínima de iterações necessárias para obter aproximação com precisão \varepsilon_{1}\leq 10^{-3} da raiz do item (b1), agora considerando o intervalo [0,50], também pelo Método da Bissecção.

    Observação: a resolução efetiva começa no próximo passo.

Passo 2

Conceito e fórmula do Método da Bissecção (aula curta e prática).
  • Condição para aplicar: se f é contínua em [a,b] e f(a)\cdot f(b)<0, existe pelo menos uma raiz r em [a,b].
  • Procedimento: em cada iteração calculamos o ponto médio m=(a+b)/2. Se f(a)\cdot f(m)\le 0 a raiz fica em [a,m], senão em [m,b]. Repetimos.
  • Cota de erro: depois de n iterações obtemos um intervalo [a_n,b_n] de comprimento
\frac{b-a}{2^{n}}.
Se escolhemos como aproximação o ponto médio x_n=\dfrac{a_n+b_n}{2}, então o erro absoluto satisfa e
|x_n-r|\le \frac{b-a}{2^{\,n+1}}.
Esta fórmula dá um limite garantido para o erro (é a que usaremos abaixo).
  • Vamos, primeiro, verificar a hipótese de existência de raiz em [0,0{,}3] e em seguida aplicar a bissecção.

Passo 3

Verificação do sinal em [0,0{,}3] (mostrando que dá para aplicar o método).
  • Calcular f(0):
f(0)=0\cdot e^{0}-e^{-3}=-e^{-3}\approx -0{,}04978707\quad(\text{negativo}).
  • Calcular f(0{,}3): usamos e^{-0{,}3}\approx 0{,}74081822,
f(0{,}3)=0{,}3\cdot e^{-0{,}3}-e^{-3}\approx 0{,}3\cdot 0{,}74081822-0{,}04978707\approx 0{,}1724584\quad(\text{positivo}).
Como f(0)\cdot f(0{,}3)<0, existe pelo menos uma raiz em [0,0{,}3]. Podemos aplicar a bissecção.

Passo 4

Aplicação prática da Bissecção em [0,0{,}3] — iterações manuais até atingir a precisão pedida.

Definimos a_0=0 e b_0=0{,}3.

Iteração 1:
m_1=\frac{a_0+b_0}{2}=\frac{0+0{,}3}{2}=0{,}15.
Avaliaremos f(m_1). Usando e^{-0{,}15}\approx 0{,}86070798,
f(0{,}15)=0{,}15\cdot 0{,}86070798 - 0{,}04978707 \approx 0{,}07931913\;(\text{positivo}).
Como f(a_0) é negativo e f(m_1) é positivo, a raiz está em [a_1,b_1]=[0,0{,}15].

Iteração 2:
m_2=\frac{a_1+b_1}{2}=\frac{0+0{,}15}{2}=0{,}075.
Usando e^{-0{,}075}\approx 0{,}927743,
f(0{,}075)=0{,}075\cdot 0{,}927743 - 0{,}04978707 \approx 0{,}0197936\;(\text{positivo}).
Como f(a_1) (em a_1=0) é negativo e f(m_2) é positivo, a raiz está em [a_2,b_2]=[0,0{,}075].

Parámos aqui porque vamos verificar a cota de erro com n=2 iterações.

Passo 5

Cálculo da cota de erro e verificação da precisão pedida (continuação do item b1).
  • A cota de erro para a aproximação x_2=(a_2+b_2)/2 é
|x_2-r|\le \frac{b_0-a_0}{2^{2+1}}=\frac{0{,}3}{2^{3}}=\frac{0{,}3}{8}=0{,}0375.
  • Como 0{,}0375\le 0{,}04, a precisão exigida \varepsilon\le 4\cdot 10^{-2} é alcançada com n=2 iterações.
  • A aproximação (escolhida como o ponto médio do intervalo atual [a_2,b_2]=[0,0{,}075]) é
x_2=\frac{0+0{,}075}{2}=0{,}0375.
  • Podemos calcular o valor de f nesse ponto para ter uma noção do resíduo:
e^{-0{,}0375}\approx 0{,}963181,\qquad f(0{,}0375)\approx 0{,}0375\cdot 0{,}963181 - 0{,}04978707 \approx -0{,}0136678.
Isto é só um resíduo; a garantia que nos interessa é a cota do erro absoluto 0{,}0375.

Passo 6

Resposta ao item (b1) — resumo final do procedimento e do erro aproximado.
  • Aproximação da raiz em [0,0{,}3] obtida por bissecção com a precisão pedida: x\approx 0{,}0375.
  • Erro aproximado (cota garantida) cometido: |x-r|\le 0{,}0375 (que satisfaz \le 4\cdot 10^{-2}).

    Agora vamos ao item (b2).

Passo 7

Cálculo do número mínimo de iterações necessário em [0,50] para a precisão \varepsilon_{1}\le 10^{-3} (item b2).

Usamos a mesma cota de erro: depois de n iterações a aproximação x_n satisfaz
|x_n-r|\le \frac{b-a}{2^{\,n+1}}.
Queremos
\frac{50}{2^{\,n+1}}\le 10^{-3}.
Resolver:
2^{\,n+1}\ge \frac{50}{10^{-3}}=50\,000.
Tomando logaritmo base 2:
n+1 \ge \log_2(50\,000)\approx 15{,}6096\quad\Rightarrow\quad n\ge 14{,}6096.
Portanto o menor inteiro n que satisfaz é n=15.

Verificação rápida: com n=15,
\frac{50}{2^{16}}=\frac{50}{65\,536}\approx 0{,}0007629\le 10^{-3},
enquanto n=14 daria uma cota maior que 10^{-3}. Logo n_{\min}=15.

Resposta

(b1) x\approx 0{,}0375 com erro aproximado (cota) |x-r|\le 0{,}0375.\n
(b2) número mínimo de iterações n_{\min}=15.

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