QUESTÃO 1

Resolva o sistema Linear
\left\{\begin{array}{c} 5 x_{1}+x_{2}+x_{3}=5 \\\\ 3 x_{1}+4 x_{2}+x_{3}=6 \\\\ 3 x_{1}+2 x_{2}+6 x_{3}=0 \end{array}\right.
a) Pelo método Gauss-Seidel \operatorname{com} x^{(0)}=\left(\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right) executando 4 iterações, apresentado os resultados de acordo com a tabela abaixo e arredondamento com quatro dígitos decimais. (1,5)

*preencher a tabela a partir dos resultados da execução do método

k x_{1}^{(k)} x_{2}^{(k)} x_{3}^{(k)} \max _{1 \leq i \leq 3}\left|x_{i}^{(k)}-x_{i}^{(k-1)}\right|
0 0.0000 0.0000 0.0000 -
1
2
3
4
b) Supondo que o erro de aproximação no item (a) fosse \epsilon=5 \times 10^{-2}, o critério de parada do método estaria satisfeito ao fim da quarta iteração? (\mathbf{0 , 3})
c) O critério de convergência do método Gauss-Jacobi está satisfeito para o sistema acima? E para o método Gauss-Seidel? (\mathbf{0 , 6})

Passo 1

O enunciado pede três coisas. Vou listar claramente cada pergunta e os dados fornecidos.
  • Sistema linear dado:
\begin{cases} 5x_{1}+x_{2}+x_{3}=5\\[4pt] 3x_{1}+4x_{2}+x_{3}=6\\[4pt] 3x_{1}+2x_{2}+6x_{3}=0 \end{cases}
  • Condição inicial para o método Gauss–Seidel: \displaystyle x^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}.
  • Parte (a): Executar o método Gauss–Seidel por 4 iterações, preencher a tabela com x_{1}^{(k)},x_{2}^{(k)},x_{3}^{(k)} arredondados com quatro dígitos decimais, e a coluna \displaystyle \max_{1\le i\le3}\big|x_i^{(k)}-x_i^{(k-1)}\big|.
  • Parte (b): Sendo o critério de parada \epsilon=5\times 10^{-2}, verificar se o critério estaria satisfeito ao fim da quarta iteração.
  • Parte (c): Verificar se o critério de convergência do método de Gauss–Jacobi está satisfeito para este sistema, e se o critério de convergência do método de Gauss–Seidel está satisfeito. (Ou seja: determinar se os critérios suficientes/necessários que se costuma usar garantem convergência.)]

Passo 2

O que é o método Gauss–Seidel e como aplicamos aqui (aula rápida e prática).
  • Ideia: em cada iteração k resolvemos cada equação para a incógnita dominante da linha e usamos imediatamente os novos valores conforme eles aparecem. Isso costuma acelerar a convergência em relação ao método de Jacobi.
  • Para o nosso sistema, isolamos cada variável nas suas equações:
Da primeira equação:
5x_1 + x_2 + x_3 =5 \quad\Rightarrow\quad x_1 = \frac{1}{5}\big(5 - x_2 - x_3\big).
Da segunda equação:
3x_1 + 4x_2 + x_3 =6 \quad\Rightarrow\quad x_2 = \frac{1}{4}\big(6 - 3x_1 - x_3\big).
Da terceira equação:
3x_1 + 2x_2 + 6x_3 =0 \quad\Rightarrow\quad x_3 = \frac{1}{6}\big(-3x_1 - 2x_2\big).
  • Regra prática da iteração Gauss–Seidel (ordem: x_1, depois x_2, depois x_3):
\begin{aligned} x_1^{(k)} &= \frac{1}{5}\big(5 - x_2^{(k-1)} - x_3^{(k-1)}\big) \quad\text{(mas se já tivermos \(x_2^{(k)}\) ou \(x_3^{(k)}\), usamos os valores mais recentes)},\\[4pt] x_2^{(k)} &= \frac{1}{4}\big(6 - 3x_1^{(k)} - x_3^{(k-1)}\big),\\[4pt] x_3^{(k)} &= \frac{1}{6}\big(-3x_1^{(k)} - 2x_2^{(k)}\big). \end{aligned}á
  • Observação sobre arredondamento: durante os cálculos eu mantenho maior precisão, mas apresento os resultados finais de cada iteração arredondados com quatro dígitos decimais (usarei vírgula como separador decimal: 0,1234).]

Passo 3

Iteração k=1 (partindo de x^{(0)}=(0,0,0)).
  • Calcule x_1^{(1)}:
x_1^{(1)}=\frac{1}{5}\big(5-0-0\big)=\frac{5}{5}=1.
  • Calcule x_2^{(1)} usando o novo x_1^{(1)}:
x_2^{(1)}=\frac{1}{4}\big(6-3\cdot 1 - 0\big)=\frac{3}{4}=0,75.
  • Calcule x_3^{(1)} usando x_1^{(1)} e x_2^{(1)}:
x_3^{(1)}=\frac{1}{6}\big(-3\cdot 1 - 2\cdot 0,75\big)=\frac{-4,5}{6}=-0,75.
  • Diferenças em relação a x^{(0)}: |1-0|=1, |0,75-0|=0,75, |-0,75-0|=0,75. Logo
\max_{i}|x_i^{(1)}-x_i^{(0)}|=1,0000.

Passo 4

Iteração k=2.
  • x_1^{(2)}:
x_1^{(2)}=\frac{1}{5}\big(5 - x_2^{(1)} - x_3^{(1)}\big) =\frac{1}{5}\big(5 - 0,75 - (-0,75)\big)=\frac{5}{5}=1.
  • x_2^{(2)}:
x_2^{(2)}=\frac{1}{4}\big(6 - 3\cdot 1 - x_3^{(1)}\big) =\frac{1}{4}\big(6 -3 -(-0,75)\big)=\frac{3,75}{4}=0,9375.
  • x_3^{(2)}:
x_3^{(2)}=\frac{1}{6}\big(-3\cdot 1 - 2\cdot 0,9375\big)=\frac{-4,875}{6}=-0,8125.
  • Diferenças entre iterações 2 e 1:
|x_1^{(2)}-x_1^{(1)}|=0,\quad |x_2^{(2)}-x_2^{(1)}|=0,1875,\quad |x_3^{(2)}-x_3^{(1)}|=0,0625.
Logo \displaystyle \max_{i}|x_i^{(2)}-x_i^{(1)}|=0,1875.

Passo 5

Iteração k=3.
  • x_1^{(3)}:
x_1^{(3)}=\frac{1}{5}\big(5 - x_2^{(2)} - x_3^{(2)}\big) =\frac{1}{5}\big(5 - 0,9375 - (-0,8125)\big)=\frac{4,875}{5}=0,975.
  • x_2^{(3)}:
x_2^{(3)}=\frac{1}{4}\big(6 - 3\cdot 0,975 - x_3^{(2)}\big) =\frac{1}{4}\big(6 -2,925 -(-0,8125)\big)=\frac{3,8875}{4}=0,971875.
Arredondando com quatro dígitos: x_2^{(3)}=0,9719.
  • x_3^{(3)}:
x_3^{(3)}=\frac{1}{6}\big(-3\cdot 0,975 - 2\cdot 0,971875\big) =\frac{-4,86875}{6}\approx -0,8114583333,
arredondando: x_3^{(3)}=-0,8115.
  • Diferenças entre iterações 3 e 2 (usando valores não arredondados para medir a diferença):
|x_1^{(3)}-x_1^{(2)}|=0,025,\quad |x_2^{(3)}-x_2^{(2)}|=0,034375,\quad |x_3^{(3)}-x_3^{(2)}|\approx 0,0010416667.
Logo \displaystyle \max_{i}|x_i^{(3)}-x_i^{(2)}|=0,034375, que arredondado com quatro dígitos é 0,0344.

Passo 6

Iteração k=4.
  • x_1^{(4)}:
x_1^{(4)}=\frac{1}{5}\big(5 - x_2^{(3)} - x_3^{(3)}\big).
Usando valores não arredondados x_2^{(3)}=0,971875 e x_3^{(3)}\approx -0,8114583333,
x_1^{(4)}=\frac{1}{5}\big(5 - 0,971875 +0,8114583333\big)=\frac{4,8395833333}{5}=0,9679166667.
Arredondando: x_1^{(4)}=0,9679.
  • x_2^{(4)}:
x_2^{(4)}=\frac{1}{4}\big(6 - 3\cdot x_1^{(4)} - x_3^{(3)}\big).
Com x_1^{(4)} sem arredondar e x_3^{(3)} como acima,
x_2^{(4)}=\frac{1}{4}\big(6 - 2,90375 +0,8114583333\big)=\frac{3,9077083333}{4}=0,9769270833,
arredondando: x_2^{(4)}=0,9769.
  • x_3^{(4)}:
x_3^{(4)}=\frac{1}{6}\big(-3\cdot x_1^{(4)} - 2\cdot x_2^{(4)}\big) =\frac{-4,8576041667}{6}\approx -0,8096006944,
arredondando: x_3^{(4)}=-0,8096.
  • Diferenças entre iterações 4 e 3 (usando valores não arredondados para precisão):
|x_1^{(4)}-x_1^{(3)}|\approx 0,0070833333,\quad |x_2^{(4)}-x_2^{(3)}|\approx 0,0050520833,\quad |x_3^{(4)}-x_3^{(3)}|\approx 0,0018576389.
Logo \displaystyle \max_{i}|x_i^{(4)}-x_i^{(3)}|\approx 0,0070833333, arredondado com quatro dígitos: 0,0071.

Passo 7

Resposta da parte (b) — critério de parada com \epsilon=5\times 10^{-2}=0,05.
  • Critério de parada normalmente é \displaystyle \max_{i}|x_i^{(k)}-x_i^{(k-1)}|\le \epsilon.
  • Ao final da quarta iteração encontramos \displaystyle \max_{i}|x_i^{(4)}-x_i^{(3)}|\approx 0,0070833, que é menor que 0,05.
  • Portanto o critério estaria satisfeito ao fim da quarta iteração (resposta: SIM).

Passo 8

Parte (c) — critérios de convergência (explicação didática curta + aplicação numérica).
  • Dois tipos de “critério” que se costuma verificar:
    1. Critério suficiente simples (muito usado em prova): se a matriz do sistema é estritamente diagonalmente dominante por linhas (isto é, para todo i, |a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|), então tanto Gauss–Jacobi quanto Gauss–Seidel convergem. Esse é um critério suficiente (garante convergência), mas não é necessário.
    2. Critério exato (definitivo): os métodos convergem se, e somente se, o raio espectral da matriz de iteração for menor que 1. Para Jacobi a matriz de iteração é B_{J}=-D^{-1}(L+U). Para Gauss–Seidel é B_{GS}=-(D+L)^{-1}U. Se \rho(B)<1 (raio espectral), o método converge.
  • Aplicando ao nosso sistema:
    • A matriz A é A=\begin{pmatrix}5 & 1 & 1\\[2pt]3 & 4 & 1\\[2pt]3 & 2 & 6\end{pmatrix}.Verificando dominância por linhas: \begin{aligned} |a_{11}|=5 &> |1|+|1|=2\quad\text{(estrita)}\\\ |a_{22}|=4 &= |3|+|1|=4\quad\text{(igualdade, não estrita)}\\\ |a_{33}|=6 &> |3|+|2|=5\quad\text{(estrita)}. \end{aligned}ãLogo a condição de estrita dominância por linhas falha (a segunda linha é apenas igualitária), então o critério suficiente simples não garante convergência para Jacobi. (Isso não prova que Jacobi diverge — apenas que a condição suficiente não é satisfeita.)
    • Agora o critério exato (raio espectral) — eu construo as matrizes de iteração e calculo os autovalores aproximados:
      • Para Jacobi: D=\operatorname{diag}(5,4,6),\quad L+U=A-D,
B_{J}=-D^{-1}(L+U)=I-D^{-1}A =\begin{pmatrix} 0 & -0,2 & -0,2\\[2pt] -0,75 & 0 & -0,25\\[2pt] -0,5 & -0,333333\ldots & 0 \end{pmatrix}.
  O polinômio característico dá três autovalores (um real e um par complexo conjugado). Calculando numericamente (detalhes algébricos omitidos por brevidade), os autovalores aproximados são
  \[\lambda_1\approx -0{,}6680,\quad \lambda_{2,3}\approx 0{,}3340\pm 0{,}0267\,i,\]
  cujo módulo máximo é aproximadamente \(\rho(B_J)\approx 0{,}6680<1\).
  Conclusão: apesar de o critério simples (dominância estrita) não se aplicar, o critério exato mostra \(\rho(B_J)<1\), portanto o método de Gauss–Jacobi converge para este sistema.
* Para Gauss–Seidel:
  \[B_{GS}=-(D+L)^{-1}U =\begin{pmatrix} 0 & -0,2 & -0,2\\[2pt] 0 & 0,15 & -0,1\\[2pt] 0 & 0,05 & 0,133333\ldots \end{pmatrix}.\]
  Como esta matriz é triangular à esquerda (zeros na primeira coluna), os autovalores saem da equação característica mais simples; os autovalores são \(0\) e um par complexo conjugado cuja produção dá módulo
  \[\rho(B_{GS})\approx 0{,}1581<1.\]
  Conclusão: o critério exato mostra que Gauss–Seidel também converge, e com raio espectral bem menor (convergência mais rápida).
  • Resumo didático final: o critério suficiente simples (dominância estrita por linhas) NÃO é satisfeito por todas as linhas (a linha 2 é apenas igualitária), logo esse critério não garante convergência para Jacobi. Porém, verificando o critério exato (raio espectral das matrizes de iteração), encontramos \rho(B_J)\approx 0{,}6680<1 e \rho(B_{GS})\approx 0{,}1581<1; portanto ambos os métodos convergem para este sistema (Gauss–Seidel converge mais rápido).]

Resposta

(a) Tabela com quatro iterações (números arredondados com quatro dígitos decimais):
k = 0 \quad x_1^{(0)}=0,0000 \quad x_2^{(0)}=0,0000 \quad x_3^{(0)}=0,0000 \quad \max= -
k = 1 \quad x_1^{(1)}=1,0000 \quad x_2^{(1)}=0,7500 \quad x_3^{(1)}=-0,7500 \quad \max=1,0000
k = 2 \quad x_1^{(2)}=1,0000 \quad x_2^{(2)}=0,9375 \quad x_3^{(2)}=-0,8125 \quad \max=0,1875
k = 3 \quad x_1^{(3)}=0,9750 \quad x_2^{(3)}=0,9719 \quad x_3^{(3)}=-0,8115 \quad \max=0,0344
k = 4 \quad x_1^{(4)}=0,9679 \quad x_2^{(4)}=0,9769 \quad x_3^{(4)}=-0,8096 \quad \max=0,0071
(b) Sim — ao fim da quarta iteração \displaystyle \max_{i}|x_i^{(4)}-x_i^{(3)}|\approx 0,0071<0,05, logo o critério com \epsilon=5\times10^{-2} estaria satisfeito.
(c) Critério simples de dominância estrita por linhas: não é satisfeito para todas as linhas (linha 2 tem igualdade), logo esse critério suficiente não se aplica diretamente. Entretanto, verificando o critério exato (raio espectral das matrizes de iteração) temos \rho(B_J)\approx 0,6680<1 e \rho(B_{GS})\approx 0,1581<1. Portanto, para este sistema ambos os métodos — Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel — convergem (Gauss–Seidel converge mais rapidamente).

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