a) Pelo método Gauss-Seidel \operatorname{com} x^{(0)}=\left(\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right) executando 4 iterações, apresentado os resultados de acordo com a tabela abaixo e arredondamento com quatro dígitos decimais. (1,5)
*preencher a tabela a partir dos resultados da execução do método
k
x_{1}^{(k)}
x_{2}^{(k)}
x_{3}^{(k)}
\max _{1 \leq i \leq 3}\left|x_{i}^{(k)}-x_{i}^{(k-1)}\right|
0
0.0000
0.0000
0.0000
-
1
2
3
4
b) Supondo que o erro de aproximação no item (a) fosse \epsilon=5 \times 10^{-2}, o critério de parada do método estaria satisfeito ao fim da quarta iteração? (\mathbf{0 , 3})
c) O critério de convergência do método Gauss-Jacobi está satisfeito para o sistema acima? E para o método Gauss-Seidel? (\mathbf{0 , 6})
Passo 1
O enunciado pede três coisas. Vou listar claramente cada pergunta e os dados fornecidos.
Condição inicial para o método Gauss–Seidel: \displaystyle x^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Parte (a): Executar o método Gauss–Seidel por 4 iterações, preencher a tabela com x_{1}^{(k)},x_{2}^{(k)},x_{3}^{(k)} arredondados com quatro dígitos decimais, e a coluna \displaystyle \max_{1\le i\le3}\big|x_i^{(k)}-x_i^{(k-1)}\big|.
Parte (b): Sendo o critério de parada \epsilon=5\times 10^{-2}, verificar se o critério estaria satisfeito ao fim da quarta iteração.
Parte (c): Verificar se o critério de convergência do método de Gauss–Jacobi está satisfeito para este sistema, e se o critério de convergência do método de Gauss–Seidel está satisfeito. (Ou seja: determinar se os critérios suficientes/necessários que se costuma usar garantem convergência.)]
Passo 2
O que é o método Gauss–Seidel e como aplicamos aqui (aula rápida e prática).
Ideia: em cada iteração k resolvemos cada equação para a incógnita dominante da linha e usamos imediatamente os novos valores conforme eles aparecem. Isso costuma acelerar a convergência em relação ao método de Jacobi.
Para o nosso sistema, isolamos cada variável nas suas equações:
Regra prática da iteração Gauss–Seidel (ordem: x_1, depois x_2, depois x_3):
\begin{aligned} x_1^{(k)} &= \frac{1}{5}\big(5 - x_2^{(k-1)} - x_3^{(k-1)}\big) \quad\text{(mas se já tivermos \(x_2^{(k)}\) ou \(x_3^{(k)}\), usamos os valores mais recentes)},\\[4pt] x_2^{(k)} &= \frac{1}{4}\big(6 - 3x_1^{(k)} - x_3^{(k-1)}\big),\\[4pt] x_3^{(k)} &= \frac{1}{6}\big(-3x_1^{(k)} - 2x_2^{(k)}\big). \end{aligned}á
Observação sobre arredondamento: durante os cálculos eu mantenho maior precisão, mas apresento os resultados finais de cada iteração arredondados com quatro dígitos decimais (usarei vírgula como separador decimal: 0,1234).]
Logo \displaystyle \max_{i}|x_i^{(4)}-x_i^{(3)}|\approx 0,0070833333, arredondado com quatro dígitos: 0,0071.
Passo 7
Resposta da parte (b) — critério de parada com \epsilon=5\times 10^{-2}=0,05.
Critério de parada normalmente é \displaystyle \max_{i}|x_i^{(k)}-x_i^{(k-1)}|\le \epsilon.
Ao final da quarta iteração encontramos \displaystyle \max_{i}|x_i^{(4)}-x_i^{(3)}|\approx 0,0070833, que é menor que 0,05.
Portanto o critério estaria satisfeito ao fim da quarta iteração (resposta: SIM).
Passo 8
Parte (c) — critérios de convergência (explicação didática curta + aplicação numérica).
Dois tipos de “critério” que se costuma verificar:
Critério suficiente simples (muito usado em prova): se a matriz do sistema é estritamente diagonalmente dominante por linhas (isto é, para todo i, |a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|), então tanto Gauss–Jacobi quanto Gauss–Seidel convergem. Esse é um critério suficiente (garante convergência), mas não é necessário.
Critério exato (definitivo): os métodos convergem se, e somente se, o raio espectral da matriz de iteração for menor que 1. Para Jacobi a matriz de iteração é B_{J}=-D^{-1}(L+U). Para Gauss–Seidel é B_{GS}=-(D+L)^{-1}U. Se \rho(B)<1 (raio espectral), o método converge.
Aplicando ao nosso sistema:
A matriz A éA=\begin{pmatrix}5 & 1 & 1\\[2pt]3 & 4 & 1\\[2pt]3 & 2 & 6\end{pmatrix}.Verificando dominância por linhas:\begin{aligned} |a_{11}|=5 &> |1|+|1|=2\quad\text{(estrita)}\\\ |a_{22}|=4 &= |3|+|1|=4\quad\text{(igualdade, não estrita)}\\\ |a_{33}|=6 &> |3|+|2|=5\quad\text{(estrita)}. \end{aligned}ãLogo a condição de estrita dominância por linhas falha (a segunda linha é apenas igualitária), então o critério suficiente simples não garante convergência para Jacobi. (Isso não prova que Jacobi diverge — apenas que a condição suficiente não é satisfeita.)
Agora o critério exato (raio espectral) — eu construo as matrizes de iteração e calculo os autovalores aproximados:
Para Jacobi:D=\operatorname{diag}(5,4,6),\quad L+U=A-D,
O polinômio característico dá três autovalores (um real e um par complexo conjugado). Calculando numericamente (detalhes algébricos omitidos por brevidade), os autovalores aproximados são
\[\lambda_1\approx -0{,}6680,\quad \lambda_{2,3}\approx 0{,}3340\pm 0{,}0267\,i,\]
cujo módulo máximo é aproximadamente \(\rho(B_J)\approx 0{,}6680<1\).
Conclusão: apesar de o critério simples (dominância estrita) não se aplicar, o critério exato mostra \(\rho(B_J)<1\), portanto o método de Gauss–Jacobi converge para este sistema.
* Para Gauss–Seidel:
\[B_{GS}=-(D+L)^{-1}U =\begin{pmatrix} 0 & -0,2 & -0,2\\[2pt] 0 & 0,15 & -0,1\\[2pt] 0 & 0,05 & 0,133333\ldots \end{pmatrix}.\]
Como esta matriz é triangular à esquerda (zeros na primeira coluna), os autovalores saem da equação característica mais simples; os autovalores são \(0\) e um par complexo conjugado cuja produção dá módulo
\[\rho(B_{GS})\approx 0{,}1581<1.\]
Conclusão: o critério exato mostra que Gauss–Seidel também converge, e com raio espectral bem menor (convergência mais rápida).
Resumo didático final: o critério suficiente simples (dominância estrita por linhas) NÃO é satisfeito por todas as linhas (a linha 2 é apenas igualitária), logo esse critério não garante convergência para Jacobi. Porém, verificando o critério exato (raio espectral das matrizes de iteração), encontramos \rho(B_J)\approx 0{,}6680<1 e \rho(B_{GS})\approx 0{,}1581<1; portanto ambos os métodos convergem para este sistema (Gauss–Seidel converge mais rápido).]
Resposta
(a) Tabela com quatro iterações (números arredondados com quatro dígitos decimais):
k = 0 \quadx_1^{(0)}=0,0000\quadx_2^{(0)}=0,0000\quadx_3^{(0)}=0,0000\quad\max= -
k = 1 \quadx_1^{(1)}=1,0000\quadx_2^{(1)}=0,7500\quadx_3^{(1)}=-0,7500\quad\max=1,0000
k = 2 \quadx_1^{(2)}=1,0000\quadx_2^{(2)}=0,9375\quadx_3^{(2)}=-0,8125\quad\max=0,1875
k = 3 \quadx_1^{(3)}=0,9750\quadx_2^{(3)}=0,9719\quadx_3^{(3)}=-0,8115\quad\max=0,0344
k = 4 \quadx_1^{(4)}=0,9679\quadx_2^{(4)}=0,9769\quadx_3^{(4)}=-0,8096\quad\max=0,0071
(b) Sim — ao fim da quarta iteração \displaystyle \max_{i}|x_i^{(4)}-x_i^{(3)}|\approx 0,0071<0,05, logo o critério com \epsilon=5\times10^{-2} estaria satisfeito.
(c) Critério simples de dominância estrita por linhas: não é satisfeito para todas as linhas (linha 2 tem igualdade), logo esse critério suficiente não se aplica diretamente. Entretanto, verificando o critério exato (raio espectral das matrizes de iteração) temos \rho(B_J)\approx 0,6680<1 e \rho(B_{GS})\approx 0,1581<1. Portanto, para este sistema ambos os métodos — Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel — convergem (Gauss–Seidel converge mais rapidamente).