QUESTÃO 2-O trabalho W realizado por um gás que se expande/contrai em um pistão partindo de um volume V_{0} até um volume V_{f} é dado por
W=\int_{V_{0}}^{V_{f}} p_{e x t} d V
em que p_{\text {ext }} é a pressão externa exercida sobre o gás. A transformação é dita reversível se, a todo instante, a pressão externa é igual à pressão interna sobre o gás. Além disso, o gás é dito ideal se a sua pressão (interna) satisfaz a equação de estado:
p V=n R T,
em que V é o volume do gás, n é o número de mols, R é a constante universal dos gases ideais e T é a temperatura em escala absoluta ( p. ex., em Kelvin). Determine uma expressão para o trabalho realizado por um gás ideal em uma transformação
c) Adiabática (sem troca de calor) e reversível. Admita que uma expansão adiabática satisfaça
\frac{d T}{d V}=-\frac{1}{c_{v}} p
para uma constante c_{v}>0.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho W realizado por um gás ideal em uma transformação adiabática reversível, ou seja, sem troca de calor e com p_{\text{ext}}=p. Sabemos que
W=\int_{V_{0}}^{V_{f}}p_{\text{ext}}\,dV
e que o gás ideal satisfaz
pV=nRT,
além de, por hipótese, na adiabática reversível
\frac{dT}{dV}=-\frac{1}{c_{v}}\,p.
Vamos usar essas relações para encontrar W.

Passo 2

Em processo reversível temos p_{\text{ext}}=p. Logo
W=\int_{V_{0}}^{V_{f}}p\,dV.
Como pV=nRT, podemos escrever p=\dfrac{nR\,T}{V}, mas T varia com V. Usamos então a relação diferencial da adiabática:
\frac{dT}{dV}=-\frac{1}{c_{v}}\,p.

Passo 3

Substituindo p=\dfrac{nR\,T}{V} em \dfrac{dT}{dV}=-\tfrac{1}{c_{v}}\,p, obtemos
\frac{dT}{dV}=-\frac{1}{c_{v}}\;\frac{nR\,T}{V} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dT}{T}=-\frac{nR}{c_{v}}\;\frac{dV}{V}.
Integramos de (V_{0},T_{0}) a (V_{f},T_{f}):
\int_{T_{0}}^{T_{f}}\frac{dT}{T} =-\frac{nR}{c_{v}}\int_{V_{0}}^{V_{f}}\frac{dV}{V} \quad\Longrightarrow\quad \ln\frac{T_{f}}{T_{0}} =-\frac{nR}{c_{v}}\ln\frac{V_{f}}{V_{0}}.

Passo 4

Da última igualdade segue
\ln\bigl(T_{f}V_{f}^{\,nR/c_{v}}\bigr) =\ln\bigl(T_{0}V_{0}^{\,nR/c_{v}}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad T\,V^{\,nR/c_{v}}=\text{constante}.
Definindo o coeficiente adiabático
\gamma = 1 + \frac{R}{c_{v}},
fica nR/c_{v}=\gamma-1 e daí também
p\,V^{\gamma}=\text{constante}.

Passo 5

Usamos agora
p\,V^{\gamma}=p_{0}\,V_{0}^{\gamma} \quad\Longrightarrow\quad p=p_{0}\,V_{0}^{\gamma}\,V^{-\gamma}
no integral de W:
W=\int_{V_{0}}^{V_{f}}p\,dV =p_{0}V_{0}^{\gamma}\int_{V_{0}}^{V_{f}}V^{-\gamma}dV =\frac{p_{0}V_{0}^{\gamma}}{1-\gamma} \Bigl(V_{f}^{\,1-\gamma}-V_{0}^{\,1-\gamma}\Bigr).

Passo 6

Podemos reescrever a forma acima lembrando que p_{f}V_{f}=p_{0}V_{0}^{\gamma}V_{f}^{\,1-\gamma}. Então
W =\frac{1}{1-\gamma}\bigl(p_{f}V_{f}-p_{0}V_{0}\bigr).
Usando pV=nRT em cada estado, obtém-se ainda
W =\frac{nR\,(T_{f}-T_{0})}{1-\gamma} =\frac{nR\,(T_{0}-T_{f})}{\gamma-1}
e, finalmente, como em adiabática W=-\Delta U=-n c_{v}(T_{f}-T_{0}), também vale
W = n\,c_{v}\,(T_{0}-T_{f}).

Resposta

\boxed{W =\frac{p_{0}V_{0}^{\gamma}}{1-\gamma}\Bigl(V_{f}^{\,1-\gamma}-V_{0}^{\,1-\gamma}\Bigr) \;=\; \frac{p_{f}V_{f}-p_{0}V_{0}}{1-\gamma} \;=\; \frac{nR\,(T_{f}-T_{0})}{1-\gamma} \;=\; n\,c_{v}\,(T_{0}-T_{f}).}

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