Questão 3 : Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função f(x, y)=e^{2 x-y}+(x-2 y)^{3}, nos pontos indicados:
\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)
\frac{\partial f}{\partial y}(-2,-4)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=e^{2x-y}+(x-2y)^3
em dois pontos distintos. O conteúdo é derivação parcial e vamos precisar usar a regra da cadeia e a derivada de exponencial.

Passo 2

Calculamos primeiro
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\frac{\partial}{\partial x}e^{2x-y}+\frac{\partial}{\partial x}(x-2y)^3 =2e^{2x-y}+3(x-2y)^2.

Passo 3

Agora avaliamos em (x,y)=(1,2):
\frac{\partial f}{\partial x}(1,2) =2e^{2\cdot1-2}+3(1-2\cdot2)^2 =2e^0+3(1-4)^2 =2\cdot1+3\cdot9 =2+27 =29.

Passo 4

Em seguida calculamos
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\frac{\partial}{\partial y}e^{2x-y}+\frac{\partial}{\partial y}(x-2y)^3 =-e^{2x-y}+3(x-2y)^2\cdot(-2) =-e^{2x-y}-6(x-2y)^2.

Passo 5

Finalmente avaliamos em (x,y)=(-2,-4):
\frac{\partial f}{\partial y}(-2,-4) =-e^{2\cdot(-2)-(-4)}-6\bigl(-2-2\cdot(-4)\bigr)^2 =-e^0-6(6)^2 =-1-6\cdot36 =-1-216 =-217.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=29 \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(-2,-4)=-217

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