Questão 4 : Determine os pontos críticos da função f(x, y)=\frac{y^{3}}{3}-\frac{y^{2}}{2}+\frac{x^{2}}{2}+x y-3 y+5 e classifique-os em pontos de máximo, mínimo ou de sela, ou justifique caso não existam.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
f(x,y)=\frac{y^{3}}{3}-\frac{y^{2}}{2}+\frac{x^{2}}{2}+x\,y-3\,y+5
e classificá-los em máximo, mínimo ou ponto de sela. Vamos usar o conceito de gradiente para achar os pontos críticos e o teste da matriz Hessiana para classificá-los.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
f_x=\frac{\partial f}{\partial x}=x+y
f_y=\frac{\partial f}{\partial y}=y^{2}-y+x-3

Passo 3

Criamos o sistema \nabla f=(f_x,f_y)=(0,0)\): \[\begin{cases} x+y=0,\\\ y^{2}-y+x-3=0. \end{cases}
Da primeira equação vem x=-y\]. Substituindo em \(f_y=0:
y^{2}-y-\,y-3=0 \quad\Longrightarrow\quad y^{2}-2y-3=0 \quad\Longrightarrow\quad (y-3)(y+1)=0.
Assim y=3 ou y=-1, e daí x=-y dá os pontos críticos
(-3,3) \quad\text{e}\quad (1,-1).

Passo 4

Para classificar usamos a matriz Hessiana
H=\begin{pmatrix} f_{xx}&f_{xy}\\\ f_{yx}&f_{yy} \end{pmatrix}
com
f_{xx}=1, \quad f_{xy}=f_{yx}=1, \quad f_{yy}=2y-1.
O determinante de H é
D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2} =1\cdot(2y-1)-1 =2y-2.
Em cada ponto:
- Em (-3,3): y=3 D=2\cdot3-2=4>0 e f_{xx}=1>0, logo é mínimo local.
- Em (1,-1): y=-1 D=2\cdot(-1)-2=-4<0, logo é ponto de sela.

Resposta

(-3,3) é ponto de mínimo local. (1,-1) é ponto de sela.

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