Questão 3:) Dada as funções f(x)=3 x+2 e f circ g(x)=2 x^2-x+2, determine a função g.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de funções compostas! A gente tem duas funções aqui: $ f(x) = 3x + 2 $ e a composição $ f \circ g(x) = 2x^{2} - x + 2 $. Nosso objetivo é descobrir qual é a função $ g(x) $. Para isso, vamos precisar entender como funciona a composição de funções e usar um pouco de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa $ f \circ g(x) $. Isso quer dizer que a gente vai aplicar a função $ f $ depois de aplicar a função $ g $ no $ x $. Em outras palavras, $ f \circ g(x) = f(g(x)) $. Então, temos:
f circ g(x)

Passo 3

Sabemos que $ f(x) = 3x + 2 $. Então, se substituirmos $ g(x) $ na expressão de $ f $, teremos:
f(x) = 3x + 2
Mas já sabemos que $ f(g(x)) $ também é igual a $ 2x^{2} - x + 2 $. Então, podemos igualar as duas expressões:
g(x)

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar $ g(x) $. Primeiro, vamos subtrair 2 de ambos os lados para simplificar:
g(x)

Passo 5

Por último, para isolar $ g(x) $, dividimos ambos os lados por 3:
g(x)

Resposta

A função $ g(x) $ é:
g(x)

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