Questão 3:) Dada as funções
e
, determine a função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de funções compostas! A gente tem duas funções aqui: $ f(x) = 3x + 2 $ e a composição $ f \circ g(x) = 2x^{2} - x + 2 $. Nosso objetivo é descobrir qual é a função $ g(x) $. Para isso, vamos precisar entender como funciona a composição de funções e usar um pouco de álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa $ f \circ g(x) $. Isso quer dizer que a gente vai aplicar a função $ f $ depois de aplicar a função $ g $ no $ x $. Em outras palavras, $ f \circ g(x) = f(g(x)) $. Então, temos:
Passo 3
Sabemos que $ f(x) = 3x + 2 $. Então, se substituirmos $ g(x) $ na expressão de $ f $, teremos:
Mas já sabemos que $ f(g(x)) $ também é igual a $ 2x^{2} - x + 2 $. Então, podemos igualar as duas expressões:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar $ g(x) $. Primeiro, vamos subtrair 2 de ambos os lados para simplificar:
Passo 5
Por último, para isolar $ g(x) $, dividimos ambos os lados por 3:
Resposta
A função $ g(x) $ é: