Questão 1: Suponha que U é um conjunto universo. Mostre que:
Definição: Definimos A triang<= B=(A-B) cup(B-A)
A cap(B triang<= C)=(A cap B) triang<=(B cap C)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um universo U e alguns conjuntos dentro dele. A questão pede para provar que:
A cap (B triang<= C) = (A cap B) triang<= (A cap C)
O que vamos usar:
  • Definição de diferença entre conjuntos: A - B são os elementos que estão em A mas não em B.
  • Definição de união entre conjuntos: A cup B são todos os elementos que estão em A, em B, ou em ambos.
  • Definição de interseção entre conjuntos: A cap B são os elementos que estão em ambos, em A e em B.
  • Definição de diferença simétrica ( A triang<= B): (A - B) cup (B - A), ou seja, os elementos que estão em um dos conjuntos, mas não nos dois ao mesmo tempo.
Vamos provar que o lado esquerdo é igual ao lado direito usando essas definições.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o lado esquerdo usando a definição de diferença simétrica:
A cap (B triang<= C) = A cap ( (B - C) cup (C - B) )
Aqui, substituímos B triang<= C por (B - C) cup (C - B).

Passo 3

Agora, vamos aplicar a distributiva da interseção sobre a união. A regra diz que:
A cap (X cup Y) = (A cap X) cup (A cap Y)
Aplicando isso, temos:
A cap ( (B - C) cup (C - B) ) = (A cap (B - C)) cup (A cap (C - B))

Passo 4

Vamos simplificar cada parte separadamente. Primeiro, A cap (B - C) significa os elementos que estão em A e em B, mas não em C. Isso pode ser reescrito como:
A cap B cap C^c
Onde C^c é o complemento de C em relação ao universo U.
Analogamente, A cap (C - B) é:
A cap C cap B^c

Passo 5

Agora, juntando essas duas partes:
(A cap B cap C^c) cup (A cap C cap B^c)
Isso representa todos os elementos que estão em A e em B mas não em C, ou em A e em C mas não em B.

Passo 6

Vamos olhar para o lado direito da igualdade que queremos provar:
(A cap B) triang<= (A cap C) = (A cap B - A cap C) cup (A cap C - A cap B)
Usando a definição de diferença simétrica novamente.

Passo 7

Simplificando as diferenças:
(A cap B cap C^c) cup (A cap C cap B^c)
Perceba que é exatamente a mesma expressão que obtivemos no Passo 5!

Resposta

Portanto, mostramos que:
A cap (B triang<= C) = (A cap B) triang<= (A cap C)

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