Questão 1: Suponha que
é um conjunto universo. Mostre que:
Definição: Definimos
Definição: Definimos
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um universo
e alguns conjuntos dentro dele. A questão pede para provar que:
O que vamos usar:
- Definição de diferença entre conjuntos:
são os elementos que estão em mas não em . - Definição de união entre conjuntos:
são todos os elementos que estão em , em , ou em ambos. - Definição de interseção entre conjuntos:
são os elementos que estão em ambos, em e em . - Definição de diferença simétrica (
): , ou seja, os elementos que estão em um dos conjuntos, mas não nos dois ao mesmo tempo.
Vamos provar que o lado esquerdo é igual ao lado direito usando essas definições.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir o lado esquerdo usando a definição de diferença simétrica:
Aqui, substituímos
por
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a distributiva da interseção sobre a união. A regra diz que:
Aplicando isso, temos:
Passo 4
Vamos simplificar cada parte separadamente. Primeiro,
significa os elementos que estão em
e em
, mas não em
. Isso pode ser reescrito como:
Onde
é o complemento de
em relação ao universo
.
Analogamente,
é:
Passo 5
Agora, juntando essas duas partes:
Isso representa todos os elementos que estão em
e em
mas não em
, ou em
e em
mas não em
.
Passo 6
Vamos olhar para o lado direito da igualdade que queremos provar:
Usando a definição de diferença simétrica novamente.
Passo 7
Simplificando as diferenças:
Perceba que é exatamente a mesma expressão que obtivemos no Passo 5!
Resposta
Portanto, mostramos que: