Questão 4: Dada as funções
e
, determine a função
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a função $ f $ sabendo que $ g(x) = x - 1 $ e a composição das funções $ f \circ g(x) = x^{2} - 2x + 1 $. Aqui, estamos trabalhando com composição de funções, que é um conceito importante em matemática onde uma função é aplicada dentro de outra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ f \circ g(x) $. Isso quer dizer que a função $ g(x) $ é aplicada primeiro, e o resultado dessa aplicação é usado como entrada para a função $ f(x) $. Então, podemos escrever:
Passo 3
Sabemos que $ g(x) = x - 1 $. Vamos substituir $ g(x) $ por $ x - 1 $ na equação acima:
Aqui, $ f(x - 1) $ significa que na função $ f $, substituímos $ x $ por $ x - 1 $.
Passo 4
Para encontrar $ f(x) $, precisamos expressar a equação em termos de uma variável diferente. Vamos chamar $ y = x - 1 $. Isso implica que $ x = y + 1 $. Vamos substituir $ x $ por $ y + 1 $ na equação:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão:
Primeiro, expanda $ (y + 1)^{2} $:
Então, substituindo na equação:
Passo 6
Vamos simplificar os termos semelhantes:
Portanto, $ f(y) = y^{2} $.
Passo 7
Finalmente, lembrando que $ y = x - 1 $, mas como queremos $ f(x) $ em termos de $ x $, substituímos $ y $ por $ x $:
Resposta
A função $ f $ é $ f(x) = x^{2} $.