Questão 4: Dada as funções g(x)=x-1 e f circ g(x)=x^2-2 x+1, determine a função f.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a função $ f $ sabendo que $ g(x) = x - 1 $ e a composição das funções $ f \circ g(x) = x^{2} - 2x + 1 $. Aqui, estamos trabalhando com composição de funções, que é um conceito importante em matemática onde uma função é aplicada dentro de outra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ f \circ g(x) $. Isso quer dizer que a função $ g(x) $ é aplicada primeiro, e o resultado dessa aplicação é usado como entrada para a função $ f(x) $. Então, podemos escrever:
f circ g(x)

Passo 3

Sabemos que $ g(x) = x - 1 $. Vamos substituir $ g(x) $ por $ x - 1 $ na equação acima:
g(x) = x - 1
Aqui, $ f(x - 1) $ significa que na função $ f $, substituímos $ x $ por $ x - 1 $.

Passo 4

Para encontrar $ f(x) $, precisamos expressar a equação em termos de uma variável diferente. Vamos chamar $ y = x - 1 $. Isso implica que $ x = y + 1 $. Vamos substituir $ x $ por $ y + 1 $ na equação:
f(x)

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão:
f(y) = (y + 1)^2 - 2(y + 1) + 1
Primeiro, expanda $ (y + 1)^{2} $:
(y + 1)^2
Então, substituindo na equação:
(y + 1)^2 = y^2 + 2y + 1

Passo 6

Vamos simplificar os termos semelhantes:
f(y) = y^2 + (2y - 2y) + (1 - 2 + 1) = y^2 + 0y + 0 = y^2
Portanto, $ f(y) = y^{2} $.

Passo 7

Finalmente, lembrando que $ y = x - 1 $, mas como queremos $ f(x) $ em termos de $ x $, substituímos $ y $ por $ x $:
y = x - 1

Resposta

A função $ f $ é $ f(x) = x^{2} $.

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