Questão 1: Suponha que
é um conjunto universo. Mostre que:
Definição: Definimos
Se
, então
Definição: Definimos
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre conjuntos e uma operação chamada diferença simétrica. A gente precisa provar que se a diferença simétrica de A com B é igual à diferença simétrica de A com C, então B tem que ser igual a C. Vamos usar conceitos de teoria dos conjuntos para resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é diferença simétrica. A diferença simétrica entre dois conjuntos A e B, escrita como $ A \triangle B $, é o conjunto dos elementos que estão em A ou em B, mas não nos dois ao mesmo tempo. Ou seja:
Passo 3
Agora, a hipótese do exercício é que $ A \triangle B = A \triangle C $. Nosso objetivo é mostrar que isso implica que B é igual a C. Para isso, vamos manipular essa igualdade usando propriedades dos conjuntos.
Passo 4
Vamos começar isolando uma das diferenças simétricas. Como $ A \triangle B = A \triangle C $, podemos reorganizar isso para:
Sabemos que a diferença simétrica é comutativa e associativa, então podemos simplificar.
Passo 5
Usando o fato de que $ A \triangle A = \varnothing $ (porque qualquer conjunto menos ele mesmo é o conjunto vazio) e $ \varnothing \triangle B = B $, a equação fica:
Ou seja:
Resposta
Portanto, se $ A \triangle B = A \triangle C $, então $ B = C $.