Questão 1: Suponha que U é um conjunto universo. Mostre que:
Definição: Definimos A triang<= B=(A-B) cup(B-A)
Se A triang<= B=A triang<= C, então B=C

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre conjuntos e uma operação chamada diferença simétrica. A gente precisa provar que se a diferença simétrica de A com B é igual à diferença simétrica de A com C, então B tem que ser igual a C. Vamos usar conceitos de teoria dos conjuntos para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é diferença simétrica. A diferença simétrica entre dois conjuntos A e B, escrita como $ A \triangle B $, é o conjunto dos elementos que estão em A ou em B, mas não nos dois ao mesmo tempo. Ou seja:
A triang<= B

Passo 3

Agora, a hipótese do exercício é que $ A \triangle B = A \triangle C $. Nosso objetivo é mostrar que isso implica que B é igual a C. Para isso, vamos manipular essa igualdade usando propriedades dos conjuntos.

Passo 4

Vamos começar isolando uma das diferenças simétricas. Como $ A \triangle B = A \triangle C $, podemos reorganizar isso para:
A triang<= B = A triang<= C
Sabemos que a diferença simétrica é comutativa e associativa, então podemos simplificar.

Passo 5

Usando o fato de que $ A \triangle A = \varnothing $ (porque qualquer conjunto menos ele mesmo é o conjunto vazio) e $ \varnothing \triangle B = B $, a equação fica:
A triang<= A = varnothing
Ou seja:
varnothing triang<= B = B

Resposta

Portanto, se $ A \triangle B = A \triangle C $, então $ B = C $.

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