Questão 5: Verifique e prove se as funções são injetivas, sobrejetivas ou bijetivas:
dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ definida por $ h(x) = 2^{x} $. Nosso objetivo aqui é verificar se essa função é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva. Para isso, vamos precisar entender o que cada um desses termos significa e aplicar isso na função que temos.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre função injetiva. Uma função é injetiva se, sempre que $ h(a) = h(b) $, então $ a = b $. Ou seja, funções injetivas não repetem valores de saída para diferentes entradas.
Vamos testar isso para $ h(x) = 2^{x} $. Suponha que $ h(a) = h(b) $:
Como a função exponencial de base 2 é estritamente crescente, se $ 2^{a} = 2^{b} $, então necessariamente:
Portanto, $ h(x) = 2^{x} $ é injetiva.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função é sobrejetiva. Uma função é sobrejetiva se, para todo $ y $ no conjunto de chegada ($ \mathbb{R} $), existe pelo menos um $ x $ em $ \mathbb{R} $ tal que $ h(x) = y $.
Vamos pensar na função $ h(x) = 2^{x} $. Sabemos que:
Isso significa que não existem valores de $ y $ em $ \mathbb{R} $ que sejam menores ou iguais a zero que possam ser obtidos por $ h(x) $. Portanto, existe um intervalo de valores em $ \mathbb{R} $ que não são atingidos por $ h(x) $.
Logo, $ h(x) = 2^{x} $ não é sobrejetiva.
Passo 4
Com base no que vimos:
- A função é injetiva porque cada $ x $ distinto gera um $ h(x) $ distinto.
- A função não é sobrejetiva porque não cobre todo o conjunto $ \mathbb{R} $, apenas valores positivos.
Para ser bijetiva, a função precisa ser simultaneamente injetiva e sobrejetiva. Já vimos que $ h(x) = 2^{x} $ não é sobrejetiva, então ela não é bijetiva.
Resposta
A função $ h(x) = 2^{x} $ é injetiva, não é sobrejetiva e, portanto, não é bijetiva.