Questão 8 - Dado o campo elétrico estático \vec{E}=y^{2} \hat{x}+\left(2 x y+z^{2}\right) \hat{y}+(2 y z) \hat{z}. Determine o potencial elétrico num ponto qualquer. Use a origem como ponto de referência.

Passo 1

O enunciado nos dá um campo elétrico estático
\vec{E}=y^{2}\,\hat{x}+\bigl(2xy+z^{2}\bigr)\,\hat{y}+(2yz)\,\hat{z}
e pede o potencial escalar V(x,y,z) tomando a origem como referência. Em eletrostática, sabemos que \vec{E} é conservativo e vale
\vec{E}=-\nabla V.

Passo 2

Para confirmar que existe potencial, verificamos o rotacional de \vec{E}:
\nabla\times\vec{E} =\begin{vmatrix} \hat{x}&\hat{y}&\hat{z}\\\ \partial_x&\partial_y&\partial_z\\\ y^2&2xy+z^2&2yz \end{vmatrix} =0.
Como \nabla\times\vec{E}=0, o campo é realmente conservativo.

Passo 3

Escrevemos as componentes de \nabla V=-\vec{E}. Pela componente x:
\frac{\partial V}{\partial x}=-E_x=-y^2.
Integrando em x, obtemos
V(x,y,z)=-x\,y^2+f(y,z).

Passo 4

Pela componente y:
\frac{\partial V}{\partial y} =-2xy+\frac{\partial f}{\partial y} =-E_y=-(2xy+z^2)=-2xy-z^2.
Daí segue \partial f/\partial y=-z^2, logo
f(y,z)=-y\,z^2+g(z).

Passo 5

Pela componente z:
\frac{\partial V}{\partial z} =-2yz+g'(z) =-E_z=-(2yz)=-2yz.
Isso implica g'(z)=0, ou seja g é constante. Como V(0,0,0)=0, essa constante vale zero.

Resposta

V(x,y,z)=-x\,y^2-y\,z^2

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