Sejam os vérlices A=(1,2), B=(-2,1) e C=(2,3) do triângulo ABC. Seja X sobre AB tal que |A X^|=2|X B| é dado Y sobre BC tal que |B Y^|=3|Y C^|. Achar o ponto de interseção das retas CX e AY.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria envolvendo triângulos e pontos em retas. A gente tem o triângulo ABC com vértices A=(1,2), B=(-2,1) e C=(2,3). Precisamos encontrar os pontos X e Y nas retas AB e BC respectivamente, seguindo certas proporções, e depois descobrir onde as retas CX e AY se cruzam. Para isso, vamos precisar usar coordenadas, proporções de segmentos e equações de retas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto X na reta AB tal que a distância de A até X seja o dobro da distância de X até B, ou seja, |A X| = 2 |X B|. Para isso, usamos a fórmula do ponto que divide um segmento em uma certa razão.
A coordenada de X pode ser encontrada pela fórmula:
X = ( 2 cdot (-2) + 1 cdot 12 + 1, 2 cdot 1 + 1 cdot 22 + 1 ) = ( -4 + 13, 2 + 23 ) = ( -33, 43 ) = (-1, 43)

Passo 3

Agora, vamos achar o ponto Y na reta BC tal que a distância de B até Y seja três vezes a distância de Y até C, ou seja, |B Y| = 3 |Y C|. Usamos novamente a fórmula do ponto que divide o segmento em uma certa razão.
A coordenada de Y é:
Y = ( 3 cdot 2 + 1 cdot (-2)3 + 1, 3 cdot 3 + 1 cdot 13 + 1 ) = ( 6 - 24, 9 + 14 ) = ( 44, 104 ) = (1, 2.5)

Passo 4

Agora que temos as coordenadas de X e Y, vamos encontrar as equações das retas CX e AY.
Primeiro, a reta CX passa pelos pontos C=(2,3) e X=(-1,43). A inclinação (coeficiente angular) da reta CX é:
mCX = 43 - 3-1 - 2 = -53-3 = 59
Então, a equação da reta CX usando a forma ponto-inclinação é:
y - 3 = 59(x - 2)
Simplificando:
y = 59x + 179

Passo 5

Agora, vamos encontrar a equação da reta AY, que passa pelos pontos A=(1,2) e Y=(1,2.5). Nesse caso, como as coordenadas de x são iguais, a reta é vertical. Portanto, a equação da reta AY é:
x = 1

Passo 6

Para encontrar o ponto de interseção das retas CX e AY, substituímos x = 1 na equação da reta CX:
y = 59(1) + 179 = 5 + 179 = 229
Então, o ponto de interseção é (1, 229).

Resposta

O ponto de interseção das retas CX e AY é (1, 229).

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