Sejam os vérlices
e
do triângulo
. Seja X sobre
tal que
é dado
sobre
tal que
. Achar o ponto de interseção das retas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria envolvendo triângulos e pontos em retas. A gente tem o triângulo
com vértices
,
e
. Precisamos encontrar os pontos
e
nas retas
e
respectivamente, seguindo certas proporções, e depois descobrir onde as retas
e
se cruzam. Para isso, vamos precisar usar coordenadas, proporções de segmentos e equações de retas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto
na reta
tal que a distância de
até
seja o dobro da distância de
até
, ou seja,
. Para isso, usamos a fórmula do ponto que divide um segmento em uma certa razão.
A coordenada de
pode ser encontrada pela fórmula:
Passo 3
Agora, vamos achar o ponto
na reta
tal que a distância de
até
seja três vezes a distância de
até
, ou seja,
. Usamos novamente a fórmula do ponto que divide o segmento em uma certa razão.
A coordenada de
é:
Passo 4
Agora que temos as coordenadas de
e
, vamos encontrar as equações das retas
e
.
Primeiro, a reta
passa pelos pontos
e
. A inclinação (coeficiente angular) da reta
é:
Então, a equação da reta
usando a forma ponto-inclinação é:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a equação da reta
, que passa pelos pontos
e
. Nesse caso, como as coordenadas de
são iguais, a reta é vertical. Portanto, a equação da reta
é:
Passo 6
Para encontrar o ponto de interseção das retas
e
, substituímos
na equação da reta
:
Então, o ponto de interseção é
.
Resposta
O ponto de interseção das retas
e
é
.