Questão 3: Resolva os sistemas lineares dados por:

Passo 1

Beleza, vamos resolver os sistemas lineares que você me enviou! A matéria que estamos usando aqui é Álgebra Linear, que envolve resolver equações com várias incógnitas ao mesmo tempo. Para isso, vamos precisar usar métodos como a substituição e a eliminação para encontrar os valores das variáveis que satisfazem todas as equações do sistema. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o Sistema [S_1):
Vamos usar o método de substituição e eliminação para encontrar os valores de e .

Passo 3

Vamos começar isolando uma das variáveis em uma das equações. Vamos isolar x na primeira equação:
x = 3 - 2y + z
Agora, vamos substituir essa expressão de x nas outras duas equações para reduzir o sistema.

Passo 4

Substituindo x = 3 - 2y + z na segunda equação:
2(3 - 2y + z) - y + 3z = -1 6 - 4y + 2z - y + 3z = -1 6 - 5y + 5z = -1
Isso simplifica para:
-5y + 5z = -7
Podemos dividir toda a equação por 5:
- y + z = -75
Ou:
z = y - 75

Passo 5

Agora, substituímos x = 3 - 2y + z na terceira equação:
- (3 - 2y + z) + 4y + z = 2 -3 + 2y - z + 4y + z = 2 -3 + 6y = 2
Resolvendo para y :
6y = 5 y = 56

Passo 6

Com o valor de y encontrado, vamos substituir em z = y - 75 :
z = 56 - 75
Para subtrair, vamos achar o denominador comum, que é 30:
z = 2530 - 4230 = -1730

Passo 7

Agora, com y e z conhecidos, substituímos em x = 3 - 2y + z :
x = 3 - 2(56) + (-1730) x = 3 - 106 - 1730 x = 3 - 53 - 1730
Convertendo para denominador comum 30:
x = 9030 - 5030 - 1730 = 2330

Passo 8

Agora, vamos resolver o Sistema [S_2):
Vamos utilizar o método de eliminação para encontrar os valores de , e .

Passo 9

Primeiro, vamos somar a primeira e a segunda equação para eliminar w :
(x + y + z + w) + (2x - y + 3z - w) = 4 + 1 3x + 4z = 5 (Equação A) çã

Passo 10

Agora, vamos somar a primeira e a terceira equação:
(x + y + z + w) + (-x + 2y - z + 3w) = 4 + 2 3y + 4w = 6 (Equação B) çã

Passo 11

Em seguida, vamos somar a primeira e a quarta equação:
(x + y + z + w) + (3x - y + 2z + w) = 4 + 5 4x + 3z + 2w = 9 (Equação C) çã

Passo 12

Agora, temos um sistema reduzido com as Equações A, B e C:
3x + 4z = 5 3y + 4w = 6 4x + 3z + 2w = 9
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 13

Primeiro, da Equação A, podemos isolar x :
3x = 5 - 4z x = 5 - 4z3
Agora, vamos substituir esse valor de x na Equação C.

Passo 14

Substituindo x = 5 - 4z3 na Equação C:
4(5 - 4z3) + 3z + 2w = 9 20 - 16z3 + 3z + 2w = 9
Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar o denominador:
20 - 16z + 9z + 6w = 27 20 - 7z + 6w = 27
Simplificando:
-7z + 6w = 7 (Equação D) çã

Passo 15

Agora, temos:
3y + 4w = 6 (Equação B) -7z + 6w = 7 (Equação D) çãçã
Vamos isolar uma das variáveis. Vamos isolar y na Equação B:
3y = 6 - 4w y = 2 - 4w3

Passo 16

Como ainda temos duas equações com duas variáveis z e w , precisamos de mais uma relação. Observando que inicialmente, na Equação A, temos 3x + 4z = 5 . Já encontramos x em termos de z . Vamos então expressar w em termos de z a partir da Equação D:
-7z + 6w = 7 6w = 7z + 7 w = 7z + 76

Passo 17

Agora, substituímos w = 7z + 76 na expressão de y :
y = 2 - 43 ( 7z + 76 ) y = 2 - 28z + 2818 y = 2 - 14z + 149 y = 189 - 14z + 149 y = 18 - 14z - 149 y = 4 - 14z9

Passo 18

Agora, temos todas as variáveis expressas em termos de z . Vamos escolher um valor para z que satisfaça todas as equações. Para isso, precisamos usar a Equação A:
3x + 4z = 5
Sabemos que x = 5 - 4z3 . Vamos substituir isso na Equação A:
3( 5 - 4z3 ) + 4z = 5 5 - 4z + 4z = 5 5 = 5
Isso significa que qualquer valor de z satisfaz a equação, indicando que o sistema possui infinitas soluções parametrizadas por z .

Resposta

As soluções dos sistemas são:
Para S1 :
x = 2330, y = 56, z = -1730
Para S2 , há infinitas soluções parametrizadas por z :
x = 5 - 4z3, y = 4 - 14z9, w = 7z + 76, com z livre

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