Questão 5: Determine o valor de k para que o sistema:
\left[\begin{array}{c} k x+y-z=1 \\\ x+y+z=0 \\\ x+y+(k-1) z=2 \end{array}\right.
seja:
a. Possível e determinado
b. Impossível
c. Possível e indeterminado

Passo 1

O enunciado pede para determinarmos os valores de k\) para que o sistema \[\begin{cases} k x+y-z=1,\\[4pt] x+y+z=0,\\[4pt] x+y+(k-1) z=2 \end{cases}
seja: (a) possível e determinado, (b) impossível, (c) possível e indeterminado.
Informações dadas: as três equações lineares com incógnitas x,y,z\] dependem do parâmetro \(k. Não há mais dados externos. A decisão vai depender de como o valor de k afeta a matriz dos coeficientes e o termo independente.]

Passo 2

Vou trabalhar com a matriz dos coeficientes A e com a matriz aumentada [A|\mathbf{b}]. Escrevendo-as:
A=\begin{pmatrix} k & 1 & -1\\[4pt] 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & k-1 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]2\end{pmatrix}, \qquad [A|\mathbf{b}]=\begin{pmatrix} k & 1 & -1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & k-1 & 2 \end{pmatrix}.
Explicando a ideia que vou usar: para um sistema linear com matriz quadrada A,
  • se \det(A)\neq 0 então A é invertível e o sistema tem solução única (possível e determinado);
  • se \det(A)=0 a matriz não é invertível e podemos ter ou nenhuma solução (impossível) ou infinitas soluções (possível e indeterminado). Nesse caso precisamos comparar o posto (rank) de A com o posto da matriz aumentada [A|\mathbf{b}]: se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|\mathbf{b}])<3 há infinitas soluções; se \operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}([A|\mathbf{b}]) o sistema é incompatível (impossível).]

Passo 3

Calculo o determinante de A por expansão na primeira linha. Os menores relevantes são:
\det\!\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & k-1\end{pmatrix}=1\cdot(k-1)-1\cdot1=k-2, \qquad \det\!\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-1\cdot1=0.
Assim
\det(A)=k\cdot(k-2)-1\cdot(k-2)+(-1)\cdot 0=(k-1)(k-2).
Conclusão imediata: \det(A)=(k-1)(k-2). Então \det(A)\neq0 exatamente quando k\neq1 e k\neq2.]

Passo 4

Pelo resultado anterior, se k\neq1 e k\neq2 a matriz A é invertível e o sistema tem solução única. Portanto isso resolve a letra (a):
  • o sistema é possível e determinado para todo k tal que k\neq1 e k\neq2.

Passo 5

Agora trato dos dois casos com \det(A)=0, ou seja k=1 e k=2. Nestes casos preciso verificar consistência (comparar equações ou postos). Vou analisar cada caso separadamente substituindo k nas equações originais.

Passo 6

Caso k=1\). O sistema fica \[\begin{cases} x+y-z=1,\\[4pt] x+y+z=0,\\[4pt] x+y+0\cdot z=2 \quad\text{(pois \(k-1=0)}. \end{cases}]
Da terceira equação obtemos
x+y=2.
Usando essa soma em \,x+y+z=0\, (segunda equação) segue
2+z=0 \quad\Rightarrow\quad z=-2.
Substituindo x+y=2 e z=-2 na primeira equação:
x+y-z = 2 - (-2) = 4,
mas a primeira equação exige que esse valor seja 1. Temos 4=1, contradição. Logo o sistema é incompatível para k=1: não há solução.]

Passo 7

Caso k=2\). O sistema fica \[\begin{cases} 2x+y-z=1,\\[4pt] x+y+z=0,\\[4pt] x+y+1\cdot z=2 \quad\text{(pois \(k-1=1)}. \end{cases}]
Observe as segunda e terceira equações:
x+y+z=0\quad\text{e}\quad x+y+z=2.
Isso é diretamente contraditório (essas duas igualdades não podem ser verdadeiras simultaneamente, pois implicariam 0=2). Portanto o sistema é incompatível para k=2: não há solução.]

Passo 8

Conclusão final sobre as três situações:
  • Para k\neq1,2: \det(A)\neq0 então o sistema tem solução única (possível e determinado).
  • Para k=1 e para k=2: \det(A)=0 e, ao verificar as equações, o sistema é inconsistente em ambos os casos (impossível).
  • Não existe valor de k que torne o sistema possível e indeterminado (infinitas soluções), porque os únicos valores que anulam o determinante ( k=1,2) levam a sistemas incompatíveis.

Resposta

(a) k\neq1,\;k\neq2 (ou k\in\mathbb{R}\setminus\{1,2\}).
(b) k=1 ou k=2.
(c) Não existe valor de k.

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