Questão 2: Utilize a definição para calcular a inversa da matriz:
A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a inversa da matriz
A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right).
Informações dadas e objetivo:
\text{Dada }A\text{ (matriz }3\times3),\quad\text{calcular }A^{-1}.

Passo 2

O que significa “inversa”: uma matriz B é a inversa de A se
AB=BA=I,
onde I é a matriz identidade de ordem 3. Para que exista A^{-1} é necessário que A seja quadrada (é) e que \det(A)\neq0. Vamos calcular \det(A) para checar se A é invertível.
Cálculo do determinante por expansão na primeira linha. Chamando as entradas da primeira linha de a_{11}=1, a_{12}=2, a_{13}=-1, temos
\det(A)=a_{11}\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix} - a_{12}\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix} + a_{13}\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
Agora os determinantes 2\times2:
\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-0\cdot1=1, \qquad \det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-1\cdot1=0.
Substituindo,
\det(A)=1\cdot1 - 2\cdot1 + (-1)\cdot0 = 1-2+0 = -1.
Como \det(A)=-1\neq0, A é invertível e a inversa existe.]

Passo 3

Método prático (definição operacional): para achar A^{-1} usamos operações elementares de linha para transformar a matriz aumentada [A\mid I] em [I\mid A^{-1}]. Operações elementares válidas:
  • trocar duas linhas,
  • multiplicar uma linha por escalar não nulo,
  • somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Montamos a matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 4

Zerar abaixo do pivô da coluna 1 (usar a primeira linha para anular as entradas de baixo): fazemos R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1} e R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{1}.
Cálculo linha a linha:
  • R_{2}-R_{1}=(1-1,\;1-2,\;0-(-1)\;|\;0-1,\;1-0,\;0-0)=(0,-1,1\;|\;-1,1,0).
  • R_{3}-R_{1}=(1-1,\;1-2,\;1-(-1)\;|\;0-1,\;0-0,\;1-0)=(0,-1,2\;|\;-1,0,1).
Matriz aumentada passa a ser
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 5

Normalizar o pivot da segunda linha: o elemento na posição (2,2) é -1. Multiplicamos a linha 2 por -1: R_{2}\leftarrow -R_{2}.
Resultado de R_{2}:
(0,1,-1\;|\;1,-1,0).
Matriz aumentada:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 6

Usar o pivô 1 em (2,2) para zerar as outras entradas da coluna 2.
Eliminar o 2 em (1,2): R_{1}\leftarrow R_{1}-2R_{2}.
Cálculo:
  • Parte esquerda: (1,2,-1)-2(0,1,-1)=(1,0,1).
  • Parte direita: (1,0,0)-2(1,-1,0)= (1-2,\;0+2,\;0-0)=(-1,2,0).
Eliminar o -1 em (3,2): R_{3}\leftarrow R_{3}+R_{2}.
Cálculo:
  • Parte esquerda: (0,-1,2)+(0,1,-1)=(0,0,1).
  • Parte direita: (-1,0,1)+(1,-1,0)=(0,-1,1).
Matriz aumentada fica
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & -1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right].

Passo 7

Agora o pivô da terceira linha já é 1 em (3,3). Usamos essa linha para zerar as entradas acima na coluna 3.
Eliminar o 1 em (1,3): R_{1}\leftarrow R_{1}-R_{3}.
Cálculo:
  • Parte esquerda: (1,0,1)-(0,0,1)=(1,0,0).
  • Parte direita: (-1,2,0)-(0,-1,1)=(-1,3,-1).
Eliminar o -1 em (2,3): R_{2}\leftarrow R_{2}+R_{3}.
Cálculo:
  • Parte esquerda: (0,1,-1)+(0,0,1)=(0,1,0).
  • Parte direita: (1,-1,0)+(0,-1,1)=(1,-2,1).
Matriz aumentada final:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 3 & -1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right].

Passo 8

Agora o bloco esquerdo é a identidade I, logo o bloco direito é a inversa A^{-1}. Podemos, se quiser, verificar rapidamente multiplicando A por A^{-1} e checando que dá I (confirmei os produtos das linhas; tudo fecha).
Portanto
A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} -1 & 3 & -1 \\\\ 1 & -2 & 1 \\\\ 0 & -1 & 1 \end{array}\right).

Resposta

A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} -1 & 3 & -1 \\\\ 1 & -2 & 1 \\\\ 0 & -1 & 1 \end{array}\right)

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