O que significa “inversa”: uma matriz B é a inversa de A se
AB=BA=I,
onde I é a matriz identidade de ordem 3. Para que exista A^{-1} é necessário que A seja quadrada (é) e que \det(A)\neq0. Vamos calcular \det(A) para checar se A é invertível.
Cálculo do determinante por expansão na primeira linha. Chamando as entradas da primeira linha de a_{11}=1, a_{12}=2, a_{13}=-1, temos
Como \det(A)=-1\neq0, A é invertível e a inversa existe.]
Passo 3
Método prático (definição operacional): para achar A^{-1} usamos operações elementares de linha para transformar a matriz aumentada [A\mid I] em [I\mid A^{-1}]. Operações elementares válidas:
Zerar abaixo do pivô da coluna 1 (usar a primeira linha para anular as entradas de baixo): fazemos R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1} e R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{1}.
Agora o bloco esquerdo é a identidade I, logo o bloco direito é a inversa A^{-1}. Podemos, se quiser, verificar rapidamente multiplicando A por A^{-1} e checando que dá I (confirmei os produtos das linhas; tudo fecha).