Questão 6: Em uma dada região existe uma superfície de cargas esfericamente simétrica, porém não uniforme. rho(r) depende da distância r. O potencial elétrico V(r) dessa distribuição é dado por
V(r)=rho0 a^218 varepsilon0[1-3(ra)^2+2(ra)^2], & para r <= a V(r)=0, & para r >= a
onde rho0 é uma constante com unidades de C / m^3 e a é uma constante com unidade de metro.
(a) Deduza uma expressão para o campo elétrico E para as regiões r <= a e r >= a
(b) Use a Lei de Gauss para deduzir uma expressão pra rho(r) nas duas regiões r <= a e r >= a

Passo 1

O enunciado dá um potencial esfericamente simétrico V(r) conhecido em duas regiões ( r<= a e r>= a) e pede (a) o campo elétrico E(r) e (b) a densidade volumétrica de carga rho(r). Vamos usar que em simetria esférica E(r)=-dfracdVdr,hat r e que a Lei de Gauss diferencial nablacdot E=rho/varepsilon0.

Passo 2

Para r<= a, escrevemos o potencial dado como simplificando os termos, percebendo que 1-3(r/a)^2+2(r/a)^2=1-(r/a)^2. Logo,

Passo 3

V(r)=rho0a^218varepsilon0l(1-r^2a^2r)(r<= a)

Passo 4

Diferenciando e lembrando E=-dV/dr,hat r, temos

Passo 5

Er=-ddrl[rho0a^218varepsilon0l(1-r^2a^2r)r]=rho0r9varepsilon0,hat r(r<= a)

Passo 6

Para r>= a, o potencial é constante (zero), então

Passo 7

E(r)=0(r>= a)

Passo 8

Agora, para obter rho(r) usamos a forma esférica da divergência em simetria radial:

Passo 9

nablacdot E=1r^2ddrl(r^2Err)Longrightarrow rho=varepsilon0nablacdot E

Passo 10

No interior ( r<= a), substituindo Er=(rho0r)/(9varepsilon0):

Passo 11

nablacdot E=1r^2ddrl(r^2rho0r9varepsilon0r)=1r^2rho09varepsilon0cdot3r^2=rho03varepsilon0
rho(r)=varepsilon0timesrho03varepsilon0=rho03(r<= a)

Passo 12

No exterior ( r>= a), E=0 implica rho=0.

Resposta

As expressões finais são, em coordenas esféricas radiais:

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