Questão 6: Em uma dada região existe uma superfície de cargas esfericamente simétrica, porém não uniforme.
depende da distância
. O potencial elétrico
dessa distribuição é dado por
onde
é uma constante com unidades de
e
é uma constante com unidade de metro.
(a) Deduza uma expressão para o campo elétrico
para as regiões
e
(b) Use a Lei de Gauss para deduzir uma expressão pra
nas duas regiões
e
(a) Deduza uma expressão para o campo elétrico
(b) Use a Lei de Gauss para deduzir uma expressão pra
Passo 1
O enunciado dá um potencial esfericamente simétrico
conhecido em duas regiões (
e
) e pede (a) o campo elétrico
e (b) a densidade volumétrica de carga
. Vamos usar que em simetria esférica
e que a Lei de Gauss diferencial
.
Passo 2
Para
, escrevemos o potencial dado como simplificando os termos, percebendo que
. Logo,
Passo 3
Passo 4
Diferenciando e lembrando
, temos
Passo 5
Passo 6
Para
, o potencial é constante (zero), então
Passo 7
Passo 8
Agora, para obter
usamos a forma esférica da divergência em simetria radial:
Passo 9
Passo 10
No interior (
), substituindo
:
Passo 11
Passo 12
No exterior (
),
implica
.
Resposta
As expressões finais são, em coordenas esféricas radiais: