Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Se \mathbf{F} for um campo vetorial e (\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{F}=\varphi), então (\varphi) será uma função potencial de (\mathbf{F}).
Se \mathbf{F} for um campo vetorial e (\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{F}=\varphi), então (\varphi) será uma função potencial de (\mathbf{F}).
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa:
Se for um campo vetorial e
, então
é uma função potencial de
.
Conteúdo: cálculo vetorial (divergência e campos potenciais).
Se
Conteúdo: cálculo vetorial (divergência e campos potenciais).
Passo 2
Recordando a definição, dizemos que
é uma função potencial de
se e somente se
Isto é, cada componente de
deve ser dada pela derivada parcial de
.
Passo 3
Por outro lado, a divergência
produz apenas um escalar, mas não estabelece que
Em outras palavras, saber que
não fornece informação sobre o gradiente de
que gere
.
Passo 4
Contraexemplo: seja
Então
logo
. Mas
Logo
não é função potencial de
.
Resposta
Falso.