Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Se \mathbf{F} for um campo vetorial e (\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{F}=\varphi), então (\varphi) será uma função potencial de (\mathbf{F}).

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa:
Se F for um campo vetorial e nablacdotF=phi, então phi é uma função potencial de F.
Conteúdo: cálculo vetorial (divergência e campos potenciais).

Passo 2

Recordando a definição, dizemos que phi é uma função potencial de F se e somente se
F = nablaphi
Isto é, cada componente de F deve ser dada pela derivada parcial de phi.

Passo 3

Por outro lado, a divergência nablacdotF produz apenas um escalar, mas não estabelece que
Fi = partial phipartial xi
Em outras palavras, saber que nablacdotF=phi não fornece informação sobre o gradiente de phi que gere F.

Passo 4

Contraexemplo: seja
F(x,y,z) = (x,0,0)
Então
nablacdotF = partialpartial x(x) + 0 + 0 = 1,
logo phi(x,y,z)=1. Mas
nablaphi = (0,0,0)neq (x,0,0)=F
Logo phi não é função potencial de F.

Resposta

Falso.

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