• Questão 1: Dadas as matrizes
A=[cc 2 & -1 3 & 4 ], B=[cc 1 & 2 -2 & 3 ]
Calcule A cdot B e B cdot A. As matrizes são comutativas quanto a multiplicação? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para calcular os produtos matriciais Acdot B e Bcdot A onde
A = 2 & -1 [0.3em] 3 & 4, B = 1 & 2 [0.3em] -2 & 3
e depois verificar se A e B comutam, ou seja, se Acdot B = Bcdot A. O conteúdo aqui é multiplicação de matrizes 2times 2 e a propriedade de comutatividade.]

Passo 2

Lembrando a definição: para duas matrizes 2times 2, o elemento (i,j) de Acdot B é
(Acdot B)ij ;=;sumk=1^2 Aik,Bkj
Vamos aplicar isso para cada entrada de Acdot B.

Passo 3

Cálculo de Acdot B:
Acdot B = 2cdot1 + (-1)cdot(-2) & 2cdot2 + (-1)cdot3 [0.4em] 3cdot1 + 4cdot(-2) & 3cdot2 + 4cdot3 = 2 + 2 & 4 - 3 [0.3em] 3 - 8 & 6 + 12 = 4 & 1 [0.3em] -5 & 18 ]

Passo 4

Cálculo de Bcdot A:
Bcdot A = 1cdot2 + 2cdot3 & 1cdot(-1) + 2cdot4 [0.4em] (-2)cdot2 + 3cdot3 & (-2)cdot(-1) + 3cdot4 = 2 + 6 & -1 + 8 [0.3em] -4 + 9 & 2 + 12 = 8 & 7 [0.3em] 5 & 14 ]

Passo 5

Comparando os resultados:
Acdot B = 4 & 1 -5 & 18, Bcdot A = 8 & 7 5 & 14,
como Acdot B neq Bcdot A, concluímos que a multiplicação de matrizes, em geral, não é comutativa.

Resposta

Acdot B = 4 & 1 [0.2em] -5 & 18 Bcdot A = 8 & 7 [0.2em] 5 & 14
Não são comutativas, pois Acdot B neq Bcdot A.]

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