Seja o espaço vetorial dos polinômios de grau .
Seja cujas coordenadas na base são . Determine [p(x)]alpha.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício que trabalha com espaços vetoriais e mudança de base. O que a questão nos pede é: dado um polinômio p(x) que está representado em uma base beta , queremos descobrir como ele fica representado em outra base alpha . Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as coordenadas de um vetor em diferentes bases e como podemos converter de uma base para outra.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma base em um espaço vetorial. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No caso de P2(R) , que é o espaço dos polinômios de grau <= 2, uma base comum é beta = 1, x, x^2 .
As coordenadas de um polinômio p(x) nessa base beta são os coeficientes que multiplicam cada elemento da base. No nosso caso, nos foi dado que:
Agora, queremos encontrar as coordenadas desse mesmo polinômio p(x) em outra base alpha . Para fazer isso, precisamos saber qual é a base alpha . Como a base alpha não foi especificada no enunciado, vamos supor que seja uma base diferente, por exemplo, alpha = 1, x + 1, x^2 + x .
Passo 4
Para encontrar as coordenadas de p(x) na base alpha , precisamos expressar p(x) como uma combinação linear dos vetores da base alpha . Ou seja, queremos encontrar escalares a, b, c tais que:
p(x) = a cdot 1 + b cdot (x + 1) + c cdot (x^2 + x)
Substituindo p(x) = -x + x^2 , temos:
-x + x^2 = a + b(x + 1) + c(x^2 + x)
Passo 5
Agora, vamos expandir a expressão do lado direito:
a + b(x + 1) + c(x^2 + x) = a + bx + b + cx^2 + cx = (a + b) + (b + c)x + cx^2
Comparando com o lado esquerdo -x + x^2 , temos o seguinte sistema de equações:
a + b = 0 b + c = -1 c = 1
Passo 6
Vamos resolver esse sistema:
Da terceira equação: c = 1 .
Substituindo c = 1 na segunda equação: b + 1 = -1 ⇒ b = -2 .
Substituindo b = -2 na primeira equação: a - 2 = 0 ⇒ a = 2 .