Seja o espaço vetorial dos polinômios de grau .
Mostre que e são bases de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que dois conjuntos de polinômios, chamados α e β, são bases do espaço vetorial . Esse espaço é formado por todos os polinômios de grau no máximo 2, ou seja, polinômios da forma onde são números reais.
Para provar que α e β são bases, precisamos verificar duas coisas para cada conjunto:
Linearmente Independentes: Nenhum polinômio do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Geram : Qualquer polinômio de grau ≤ 2 pode ser escrito como combinação linear dos polinômios do conjunto.
Vamos passar a resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o conjunto α = .
Para facilitar, vamos escrever cada polinômio em termos dos coeficientes de , e :
Assim, podemos representar α como uma matriz onde cada coluna é um vetor de coeficientes:
Para verificar se α é linearmente independente, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.
Como o determinante é 1 (diferente de zero), concluímos que α é linearmente independente.
Passo 3
Agora, como α é um conjunto de três polinômios lineares independentes e P2(R) também tem dimensão 3, isso significa que α gera todo o espaço P2(R) . Portanto, α é uma base de P2(R) .
Passo 4
Vamos fazer o mesmo para o conjunto β = 2, 1 - x, 1 + x^2.
Primeiro, escrevemos cada polinômio com seus coeficientes: