Seja P2(R) o espaço vetorial dos polinômios de grau <= 2.
Mostre que alpha=1-x+2 x^2, x-x^2, x^2 e beta=2,1-x, 1+x^2 são bases de P2(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que dois conjuntos de polinômios, chamados α e β, são bases do espaço vetorial P2(R) . Esse espaço é formado por todos os polinômios de grau no máximo 2, ou seja, polinômios da forma a + bx + cx^2 onde a, b, c são números reais.
Para provar que α e β são bases, precisamos verificar duas coisas para cada conjunto:
  1. Linearmente Independentes: Nenhum polinômio do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros.
  2. Geram P2(R) : Qualquer polinômio de grau ≤ 2 pode ser escrito como combinação linear dos polinômios do conjunto.
Vamos passar a resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o conjunto α = 1 - x + 2x^2, x - x^2, x^2.
Para facilitar, vamos escrever cada polinômio em termos dos coeficientes de 1, x e x^2:
1 - x + 2x^2 &= 1 cdot 1 + (-1) cdot x + 2 cdot x^2 x - x^2 &= 0 cdot 1 + 1 cdot x + (-1) cdot x^2 x^2 &= 0 cdot 1 + 0 cdot x + 1 cdot x^2
Assim, podemos representar α como uma matriz onde cada coluna é um vetor de coeficientes:
A = 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 2 & -1 & 1
Para verificar se α é linearmente independente, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.
Calculando o determinante de A:
det(A) = 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot (-1)) - 0 cdot (-1 cdot 1 - 0 cdot 2) + 0 cdot (-1 cdot (-1) - 1 cdot 2) = 1 cdot 1 = 1
Como o determinante é 1 (diferente de zero), concluímos que α é linearmente independente.

Passo 3

Agora, como α é um conjunto de três polinômios lineares independentes e P2(R) também tem dimensão 3, isso significa que α gera todo o espaço P2(R) . Portanto, α é uma base de P2(R) .

Passo 4

Vamos fazer o mesmo para o conjunto β = 2, 1 - x, 1 + x^2.
Primeiro, escrevemos cada polinômio com seus coeficientes:
2 &= 2 cdot 1 + 0 cdot x + 0 cdot x^2 1 - x &= 1 cdot 1 + (-1) cdot x + 0 cdot x^2 1 + x^2 &= 1 cdot 1 + 0 cdot x + 1 cdot x^2
Representando β como uma matriz de coeficientes:
B = 2 & 1 & 1 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1
Vamos calcular o determinante de B para verificar a independência linear:
det(B) = 2 cdot (-1 cdot 1 - 0 cdot 0) - 1 cdot (0 cdot 1 - 0 cdot 0) + 1 cdot (0 cdot 0 - (-1) cdot 0) = 2 cdot (-1) = -2
O determinante é -2 (diferente de zero), então β também é linearmente independente.

Passo 5

Como β tem três polinômios linearmente independentes e o espaço P2(R) tem dimensão 3, β também gera todo o espaço. Assim, β é uma base de P2(R) .

Resposta

Tanto o conjunto α = 1 - x + 2x^2, x - x^2, x^2 quanto o conjunto β = 2, 1 - x, 1 + x^2 são bases do espaço vetorial P2(R) .

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