(a) (Vale 2.0 pontos), O conjunto W é um subespaço vetorial real do \mathbb{R}^{3} ? Se sua resposta for sim, entāo justifique detalhadamente o porquê de W ser subespaço real do \mathbb{R}^{3}.
(b) (Vale 2.0 pontos). Exiba uma base para o \mathbb{R}^{3} que contenha os vetores (1,0,0) e (1,1,1).
Passo 1
O enunciado fornece o conjunto
W = \{(7,0,0),\,(7,1,1)\}
no espaço vetorial \mathbb{R}^3 e pede:
(a) determinar se W é um subespaço de \mathbb{R}^3, usando os critérios de subespaço (conter o vetor nulo, fechamento sob soma e multiplicação por escalar);
(b) exibir uma base de \mathbb{R}^3 que contenha os vetores (1,0,0) e (1,1,1).
Passo 2
Para (a), lembramos que um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^3 é subespaço se e somente se:
\mathbf{0}=(0,0,0)\in W.
Para quaisquer \mathbf{u},\mathbf{v}\in W, vale \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W.
Para qualquer \alpha\in\mathbb{R} e qualquer \mathbf{u}\in W, vale \alpha\,\mathbf{u}\in W.
Passo 3
Verificamos o primeiro critério: o vetor nulo \mathbf{0}=(0,0,0)
não está em W, pois os únicos elementos de W são (7,0,0) e (7,1,1). Como o vetor nulo não pertence a W, já concluímos que Wnão satisfaz os critérios de subespaço.
Passo 4
Para (b), queremos uma base de \mathbb{R}^3 que contenha (1,0,0) e (1,1,1). Basta acrescentar um terceiro vetor que, junto com os dois dados, seja linearmente independente. Uma escolha simples é
Devemos checar que \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}\) é um conjunto gerador e linearmente independente em \(\mathbb{R}^3\). Como há três vetores em \(\mathbb{R}^3\), basta mostrar independência:
suponha
\[\alpha\,(1,0,0) + \beta\,(1,1,1) + \gamma\,(0,0,1) = (0,0,0).
Da segunda equação \beta=0\]. Então \(\alpha=0 e \gamma=0. Logo, só há solução trivial, e o conjunto é linearmente independente. Como são três vetores independentes em \mathbb{R}^3, eles formam uma base.
Resposta
(a) W não é subespaço de \mathbb{R}^3, pois não contém o vetor nulo.
(b) Um exemplo de base de \mathbb{R}^3 que contém (1,0,0) e (1,1,1) é