Questão 4. Dado um corpo F, a característica de F é o menor número natural n=char(F) tal que
underbrace1+cdots+1n termos =0 em F,
se existir um tal número n. Se não existir n com essa propriedade, dizemos que char(F)=0.
EMB5007 - Álgebra Linear (2025/1)
Professor: Luiz Gustavo Cordeiro
Lista 1 - Corpos
Campus de Joinville
(a) Qual é a característica do corpo que você definiu no exercício anterior?
(b) Qual é a característica de Zn, com n primo?
(c) Prove que a característica de um corpo é sempre 0 ou um número primo.

Passo 1

Estamos falando da definição de característica de um corpo F, que é o menor ninN tal que
underbrace1+cdots+1n termos=0
em F, ou zero se não existir tal n. As perguntas são:
  1. (a) Qual é a característica do corpo definido no exercício anterior?
  2. (b) Qual é a característica de Zn com n primo?
  3. (c) Provar que a característica de um corpo é sempre 0 ou um número primo.
Para isso vamos usar a própria definição de característica e a propriedade de que um corpo não tem divisores de zero.

Passo 2

No item (a) precisaríamos saber exatamente qual corpo foi definido no exercício anterior. Como essa informação não foi fornecida aqui, não há como determinar char(F) nesse caso.

Passo 3

Para (b), consideremos o corpo Zp com p primo. Nesse corpo, somar 1 consigo mesmo p vezes dá
underbrace1+cdots+1p termos equiv p equiv 0 pmod p
Não existe inteiro menor que p cuja soma de 1 repetida seja 0 em Zp. Logo
charl(Zpr)=p

Passo 4

Para (c), seja char(F)=n>0. Suponha, por contradição, que n seja composto: n=ab com a,b>1. Então
0 =underbrace1+cdots+1n termos =l(underbrace1+cdots+1a termosr),l(underbrace1+cdots+1b termosr)
Como F é um corpo, não tem divisores de zero, então um dos fatores seria zero, o que contradiz a minimalidade de n. Portanto n não pode ser composto, isto é, ou n é primo ou não existe tal n (caso em que char(F)=0).

Resposta

a) Não é possível determinar sem conhecer o corpo do exercício anterior.
b) char(Zp)=p.
c) A característica de um corpo é sempre 0 ou um número primo.

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