Questão 2. A operação módulo ou resto da divisão é denotada com um sinal de porcentagem (%) e é definida da seguinte forma:
éã
Dado um número natural , os inteiros módulo são a estrutura consistindo do conjunto com as seguintes operações:
Considerando com estas operações:
(a) Complete as tabelas das operações de :
+
(b) Escreva as tabelas das operações de .
(c) Prove que, dado qualquer número sempre satisfaz aos axiomas de corpo, exceto ao da existência de inverso multiplicativo.
(d) Prove que satisfaz ao axioma da existência de inverso multiplicativo (e portanto é um corpo) se, e somente se, é um número primo.

Passo 1

O exercício trata de verificar a estrutura de Zn=bar0,bar1,dots,n-1 com as operações
barx+bary=(x+y)bmod n, barxcdotbary=(x y)bmod n
Precisamos:
1. Completar as tabelas de Z3.
2. Escrever as tabelas de Z4.
3. Mostrar que, para qualquer n, Zn satisfaz todos os axiomas de corpo, exceto o da existência de inverso multiplicativo para todo elemento não-nulo.
4. Provar que Zn é corpo (i.e.\ satisfaz também inversos multiplicativos) se, e somente se, n for primo.

Passo 2

(a) Tabelas de Z3.
c|ccc + & overline0 & overline1 & overline2hline overline0 & overline0 & overline1 & overline2 overline1 & overline1 & overline2 & overline0 overline2 & overline2 & overline0 & overline1 c|ccc cdot & overline0 & overline1 & overline2hline overline0 & overline0 & overline0 & overline0 overline1 & overline0 & overline1 & overline2 overline2 & overline0 & overline2 & overline1

Passo 3

(b) Tabelas de Z4.
c|cccc + & overline0 & overline1 & overline2 & overline3hline overline0 & overline0 & overline1 & overline2 & overline3 overline1 & overline1 & overline2 & overline3 & overline0 overline2 & overline2 & overline3 & overline0 & overline1 overline3 & overline3 & overline0 & overline1 & overline2 c|cccc cdot & overline0 & overline1 & overline2 & overline3hline overline0 & overline0 & overline0 & overline0 & overline0 overline1 & overline0 & overline1 & overline2 & overline3 overline2 & overline0 & overline2 & overline0 & overline2 overline3 & overline0 & overline3 & overline2 & overline1

Passo 4

(c) Prova dos axiomas de corpo (exceto inverso multiplicativo):
1. Fechamento, associatividade e comutatividade de + e de cdot vêm diretamente das mesmas propriedades em Z, reduzidas módulo n.
2. Identidade aditiva é bar0, identidade multiplicativa é bar1.
3. Inverso aditivo de bar x é n-x.
4. Distributividade de cdot sobre + segue da distributividade em Z e do fato de a redução módulo n preservar soma e produto.
Portanto Zn é um anel comutativo com unidade, mas pode faltar inverso multiplicativo para alguns bar xneqbar0.

Passo 5

(d) Provar que Zn é corpo iff n é primo.
( Rightarrow) Se Zn é corpo então todo bar aneqbar0 tem inverso. Se n não fosse primo, existiria 1<a<n com d=gcd(a,n)>1. Então acdot kequiv1pmod n não teria solução (pois dmid a,k e dmid n implicaria dmid1, absurdo).
( Leftarrow) Se n é primo, então para todo 1<= a<n temos gcd(a,n)=1. Pelo Teorema de Bézout existem inteiros x,y com ax+ny=1Rightarrow axequiv1pmod n. Logo bar x é inverso multiplicativo de bar a. Assim Zn torna-se corpo.

Resposta

(a) Tabelas de Z3 no Passo 2.
(b) Tabelas de Z4 no Passo 3.
(c) No Passo 4 mostramos que Zn é um anel comutativo com unidade (cumpre todos os axiomas de corpo, exceto inverso multiplicativo).
(d) No Passo 5 demonstramos que Zn tem inverso multiplicativo para todo elemento não-nulo se, e somente se, n é primo, ou seja, Zn é corpo exatamente quando n é primo.

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