Questão 5.
Seja
o conjunto dos pares ordenados de números reais, munido das seguintes operações:
Prove que
é um corpo.
Passo 1
Resumindo o enunciado, definimos
com
com
O objetivo é mostrar que
satisfaz os axiomas de corpo:
-
é um grupo abeliano, -
é um grupo abeliano, - a multiplicação distribui sobre a adição.
Passo 2
Verificamos que
é grupo abeliano.
(i) Fechamento: se então
.
(ii) Associatividade e comutatividade seguem da associatividade e comutatividade usuais em .
(iii) Neutro aditivo é pois
.
(iv) Inverso de é
, pois
.
Logo é grupo abeliano.
(i) Fechamento: se
(ii) Associatividade e comutatividade seguem da associatividade e comutatividade usuais em
(iii) Neutro aditivo é
(iv) Inverso de
Logo
Passo 3
Mostramos que
é fechamento, associativa e comutativa.
– Fechamento: .
– Comutatividade: troca de fatores em dá
– Fechamento:
– Comutatividade: troca de fatores em
– Associatividade: para
calcula-se componente a componente ou observa-se que é a mesma regra de multiplicação de números complexos, que é associativa.
Passo 4
Identidade multiplicativa é
porque
Passo 5
Verificamos a distributividade. Para quaisquer
:
e
que coincide com o resultado anterior. Logo a multiplicação distribui sobre a adição.
Passo 6
Mostramos que todo elemento não-nulo tem inverso multiplicativo. Se
, então
e definimos
De fato,
Resposta
Como já mostramos que
-
é grupo abeliano, -
é grupo abeliano com neutro e inversos, - a multiplicação distribui sobre a adição,
concluímos queé um corpo.