Questão 5.

Seja F=R^2=(x, y) mid x, y in R o conjunto dos pares ordenados de números reais, munido das seguintes operações:
(x, y)+(z, w)=(x+z, y+w), (x, y)(z, w)=(x z-y w, x w+y z)
Prove que F é um corpo.

Passo 1

Resumindo o enunciado, definimos
F=R^2
com
(x,y)+(z,w)=(x+z,y+w), (x,y)cdot(z,w)=(x z - y w,;x w + y z)
O objetivo é mostrar que F satisfaz os axiomas de corpo:
  1. (F,+) é um grupo abeliano,
  2. (Fsetminus(0,0),cdot) é um grupo abeliano,
  3. a multiplicação distribui sobre a adição.

Passo 2

Verificamos que (F,+) é grupo abeliano.
(i) Fechamento: se (x,y),(z,w)inF então (x+z,y+w)inF.
(ii) Associatividade e comutatividade seguem da associatividade e comutatividade usuais em R.
(iii) Neutro aditivo é (0,0) pois (x,y)+(0,0)=(x,y).
(iv) Inverso de (x,y) é (-x,-y), pois (x,y)+(-x,-y)=(0,0).
Logo (F,+) é grupo abeliano.

Passo 3

Mostramos que cdot é fechamento, associativa e comutativa.
– Fechamento: (x z - y w,;x w + y z)inR^2.
– Comutatividade: troca de fatores em R
(x,y)cdot(z,w)=(xz-yw,;xw+yz)=(zx-wy,;zw+yx)=(z,w)cdot(x,y)
– Associatividade: para (x,y),(z,w),(u,v) calcula-se componente a componente ou observa-se que é a mesma regra de multiplicação de números complexos, que é associativa.

Passo 4

Identidade multiplicativa é (1,0) porque
(x,y)cdot(1,0)=(xcdot1 - ycdot0,;xcdot0 + ycdot1)=(x,y)

Passo 5

Verificamos a distributividade. Para quaisquer (x,y),(z,w),(u,v)inF:
(x,y)cdotl((z,w)+(u,v)r) =(x,y)cdot(z+u,w+v) =(x(z+u)-y(w+v),,x(w+v)+y(z+u))
e
(x,y)cdot(z,w)+(x,y)cdot(u,v) =(xz-yw,xw+yz)+(xu-yv,xv+yu) =(xz+xu-yw-yv,;xw+xv+yz+yu),
que coincide com o resultado anterior. Logo a multiplicação distribui sobre a adição.

Passo 6

Mostramos que todo elemento não-nulo tem inverso multiplicativo. Se (x,y)neq(0,0), então De<a=x^2+y^2>0 e definimos
(x,y)^-1=l(tfracxDe<a,,-tfracyDe<ar)
De fato,
(x,y)cdot(x,y)^-1 =l(xxDe<a-y(-tfracyDe<a),;x(-tfracyDe<a)+yxDe<ar) =l(tfracx^2+y^2De<a,0r) =(1,0)

Resposta

Como já mostramos que
  1. (F,+) é grupo abeliano,
  2. (Fsetminus(0,0),cdot) é grupo abeliano com neutro (1,0) e inversos,
  3. a multiplicação distribui sobre a adição,
    concluímos que F é um corpo.

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