Questão 3. Defina operações em um conjunto com 4 elementos que o façam um corpo.
Passo 1
O enunciado pede que a gente construa um corpo com 4 elementos, ou seja, uma estrutura
que satisfaça todos os axiomas de corpo (grupo abeliano em
, grupo abeliano em
sobre
, distributividade, etc.). O conteúdo que vamos usar é o de corpos finitos, em particular
.
Passo 2
Para construir
escolhemos a extensão de
de grau 2. Seja
a classe de
em
onde
é irredutível sobre
. Então os elementos de
são
com a relação
Passo 3
Definimos a adição em
como a soma de polinômios com coeficientes em
feita coeficiente a coeficiente módulo 2. A tabela de soma fica:
Passo 4
Definimos a multiplicação em
como o produto de polinômios em
reduzido módulo
. Usando
, a tabela de multiplicação é
Resposta
O corpo com 4 elementos é
com as operações dadas pelas tabelas acima.