Questão 3. Defina operações em um conjunto com 4 elementos que o façam um corpo.

Passo 1

O enunciado pede que a gente construa um corpo com 4 elementos, ou seja, uma estrutura (K,+,cdot) que satisfaça todos os axiomas de corpo (grupo abeliano em +, grupo abeliano em cdot sobre Ksetminus0, distributividade, etc.). O conteúdo que vamos usar é o de corpos finitos, em particular F2^2 .

Passo 2

Para construir K escolhemos a extensão de F2 de grau 2. Seja alpha a classe de x em
F2[x]/(x^2+x+1),
onde x^2+x+1 é irredutível sobre F2. Então os elementos de K são
K = 0,;1,;alpha,;alpha+1,
com a relação
alpha^2 = alpha + 1

Passo 3

Definimos a adição em K como a soma de polinômios com coeficientes em F2 feita coeficiente a coeficiente módulo 2. A tabela de soma fica:
c|cccc + & 0 & 1 & alpha & alpha+1hline 0 & 0 & 1 & alpha & alpha+1 1 & 1 & 0 & alpha+1 & alpha alpha & alpha & alpha+1 & 0 & 1 alpha+1 & alpha+1 & alpha & 1 & 0

Passo 4

Definimos a multiplicação em K como o produto de polinômios em F2[x] reduzido módulo x^2+x+1. Usando alpha^2=alpha+1, a tabela de multiplicação é
c|cccc cdot & 0 & 1 & alpha & alpha+1hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 1 & alpha & alpha+1 alpha & 0 & alpha & alpha+1 & 1 alpha+1 & 0 & alpha+1 & 1 & alpha

Resposta

O corpo com 4 elementos é
K = 0,,1,,alpha,,alpha+1,
com as operações dadas pelas tabelas acima.

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