Questão 5: Você e uma colega são socios em um negócio de sucos e num dia corrido resolveram comprar polpas para o preparo dos sucos, mas não se comunicaram para isso. Você comprou as polpas em uma loja \mathbf{A}, que cobra R \ 80,00 a entrega, maisR $2,70 por cada peça de polpa. Sua colega comprou as polpas em uma lojaç\mathbf{B} , que cobraR $ 50,00 a entrega, maisR $2,90$ por cada peça de polpa. Ao final do dia, você e sua colega foram informar sobre a compra e perceberam que pagaram o mesmo valor total pelos produtos e compraram as mesmas quantidades de polpas. Quantas peças de polpas cada um comprou e quanto cada um pagou pela compra?Mostre as contas que validem sua resposta.

Passo 1

Resumo do que o enunciado dá e o que pede:
Você tem duas compras feitas separadamente, com as seguintes informações relevantes:
\text{Loja A: entrega } = R\$\,80{,}00,\quad \text{cada peça } = R\$\,2{,}70.ç
\text{Loja B: entrega } = R\$\,50{,}00,\quad \text{cada peça } = R\$\,2{,}90.ç
Os fatos que ocorreram no problema:
\text{Vocês compraram a mesma quantidade de peças (mesmo número de polpas).}êçú
\text{O valor total pago por você (Loja A) foi igual ao valor total pago pela colega (Loja B).}ê
Perguntas que precisamos responder:
  1. Quantas peças de polpa cada um comprou?
  2. Quanto cada um pagou pela compra?

Passo 2

Definição das incógnitas e montagem das expressões do custo:
Vamos chamar por uma variável a quantidade de peças compradas por cada um:
n = \text{número de peças que você e sua colega compraram (cada um)}.úçê
Agora escrevemos o custo total pago por cada pessoa como soma da taxa de entrega fixa mais o custo por peça vezes n:
Custo da compra na loja A (sua compra):
C_A = 80 + 2{,}70\cdot n.
Custo da compra na loja B (da colega):
C_B = 50 + 2{,}90\cdot n.
Aqui cada número representa reais (R$), e a multiplicação 2{,}70\cdot n significa pagar R\$\,2{,}70 por cada uma das n peças.

Passo 3

Escrever a equação principal usando a informação de que os totais são iguais:
Pelo enunciado, C_A é igual a C_B. Então formamos a equação:
80 + 2{,}70\cdot n = 50 + 2{,}90\cdot n.
Isto é uma equação linear em n. Vamos resolvê-la passo a passo. A ideia é isolar n fazendo operações iguais em ambos os lados (subtrair, somar, dividir).

Passo 4

Resolver a equação linear passo a passo:
Partimos de
80 + 2{,}70n = 50 + 2{,}90n.
Subtraímos 50 dos dois lados para tirar a constante do segundo membro:
80-50 + 2{,}70n = 2{,}90n.
Calculando 80-50:
30 + 2{,}70n = 2{,}90n.
Agora subtraímos 2{,}70n dos dois lados para agrupar os termos em n:
30 = 2{,}90n - 2{,}70n.
Calculamos a diferença dos coeficientes de n:
2{,}90 - 2{,}70 = 0{,}20.
Logo
30 = 0{,}20\,n.
Para isolar n, dividimos ambos os lados por 0{,}20:
n = \frac{30}{0{,}20}.
Fazendo a divisão: 0{,}20 = \tfrac{2}{10}, então
n = 30 \cdot \frac{10}{2} = 30 \cdot 5 = 150.
Portanto cada um comprou n=150 peças.

Passo 5

Calcular quanto cada um pagou (substituição para obter o valor total):
Usamos n=150 nas expressões de custo.
Para a loja A:
C_A = 80 + 2{,}70\cdot 150.
Calculamos 2{,}70\cdot 150. Uma forma prática: 2{,}70\cdot 100 = 270 e 2{,}70\cdot 50 = 135, então
2{,}70\cdot 150 = 270 + 135 = 405.
Portanto
C_A = 80 + 405 = 485.
Para a loja B (verificação):
C_B = 50 + 2{,}90\cdot 150.
Calculamos 2{,}90\cdot 150. Similarmente: 2{,}90\cdot 100 = 290 e 2{,}90\cdot 50 = 145, então
2{,}90\cdot 150 = 290 + 145 = 435.
Portanto
C_B = 50 + 435 = 485.
Ambos dão o mesmo total \,R\$\,485{,}00, como exigido pelo enunciado. Isso confirma que o cálculo de n está correto.

Passo 6

Interpretação final e dica prática para a prova:
Resultado: cada um comprou 150 peças e cada compra saiu por R\$\,485{,}00.
Dica prática reutilizável: quando duas opções têm um custo fixo diferente e um custo por unidade diferente e os totais são iguais, uma forma rápida é dividir a diferença dos custos fixos pela diferença dos preços por unidade, ou seja
n=\frac{\text{diferença das entregas}}{\text{diferença dos preços por peça}} = \frac{80-50}{2{,}90-2{,}70}=\frac{30}{0{,}20}=150.çççç
Isso evita muita conta e funciona em várias questões parecidas. Força aí — você conseguiu! 😉

Resposta

Cada um comprou 150 peças.
Cada um pagou R\$\,485{,}00.

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