Questão 6. Dado \vec{u}=(1,2,-1), \vec{v}=(3,-1,0), \vec{w}=(2,1,1) :
a) Verifique se \vec{w} é combinação linear de \vec{u} e \vec{v}
b) Os vetores \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} são LI ou LD?
Passo 1
O enunciado nos dá os vetores \vec{u}=(1,2,-1), \vec{v}=(3,-1,0) e \vec{w}=(2,1,1). Pede-se:
– Parte (a): testar se existe combinação linear \vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}.
– Parte (b): decidir se \vec{u},\vec{v},\vec{w} são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD).
Para isso vamos montar um sistema para a parte (a) e depois usar esses resultados para a parte (b).
ou seja, a solução obtida não satisfaz a segunda equação, logo não existe par (a,b) que resolva o sistema.
Passo 4
Concluímos que \vec{w}não é combinação linear de \vec{u} e \vec{v}. Em termos de subespaços, \vec{w}\notin\mathrm{Span}\{\vec{u},\vec{v}\}.
Passo 5
Para decidir LI ou LD de \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}, note que primeiro \vec{u} e \vec{v} são LI porque a única solução de \alpha\vec{u}+\beta\vec{v}=\vec{0} é \alpha=\beta=0. Como \vec{w} não está no span de \vec{u},\vec{v}, adicionar \vec{w} aumenta a dimensão do subespaço gerado, e assim \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} também é LI.
Resposta
a) \vec{w} não é combinação linear de \vec{u} e \vec{v}.
b) Os vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} são linearmente independentes.