Questão 6. Dado \vec{u}=(1,2,-1), \vec{v}=(3,-1,0), \vec{w}=(2,1,1) :
a) Verifique se \vec{w} é combinação linear de \vec{u} e \vec{v}
b) Os vetores \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} são LI ou LD?

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores \vec{u}=(1,2,-1), \vec{v}=(3,-1,0) e \vec{w}=(2,1,1). Pede-se:
– Parte (a): testar se existe combinação linear \vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}.
– Parte (b): decidir se \vec{u},\vec{v},\vec{w} são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD).
Para isso vamos montar um sistema para a parte (a) e depois usar esses resultados para a parte (b).

Passo 2

Assumindo \vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v} temos
a(1,2,-1)+b(3,-1,0)=(2,1,1),
o que gera o sistema de três equações em a e b:
\begin{cases} a+3b=2,\\\\ 2a - b=1,\\\\ -\,a=1. \end{cases}

Passo 3

Da terceira equação -a=1 segue a=-1. Substituindo em a+3b=2
-1+3b=2\quad\Longrightarrow\quad3b=3\quad\Longrightarrow\quad b=1.
Agora verificamos na segunda equação:
2a - b = 2(-1)-1 = -2-1 = -3 \neq 1,
ou seja, a solução obtida não satisfaz a segunda equação, logo não existe par (a,b) que resolva o sistema.

Passo 4

Concluímos que \vec{w} não é combinação linear de \vec{u} e \vec{v}. Em termos de subespaços, \vec{w}\notin\mathrm{Span}\{\vec{u},\vec{v}\}.

Passo 5

Para decidir LI ou LD de \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}, note que primeiro \vec{u} e \vec{v} são LI porque a única solução de \alpha\vec{u}+\beta\vec{v}=\vec{0} é \alpha=\beta=0. Como \vec{w} não está no span de \vec{u},\vec{v}, adicionar \vec{w} aumenta a dimensão do subespaço gerado, e assim \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} também é LI.

Resposta

a) \vec{w} não é combinação linear de \vec{u} e \vec{v}.
b) Os vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} são linearmente independentes.

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