Questão 7 -

Dado o vetor velocidade
\vec{u}=\left(y^{2} z^{2}\right) \hat{i}+\left(2 x y z^{2}\right) \hat{j}+\left(3 x^{3} z\right) \hat{k}
(a) Determine se o escoamento é em regime permanente ou não-permanente
(b) Determine a magnitude da velocidade da partícula no ponto (x, y, z)=(2,3,1).
(c) Determine a aceleração local da partícula.
(d) : Verifique se o escoamento é compressivel ou incompressivel
(e) Determine de o escoamento é rotacional ou irrotacional.

Passo 1

O enunciado fornece o campo de velocidade
\vec{u}(x,y,z)=\bigl(y^{2}z^{2}\bigr)\,\hat{i}+\bigl(2xyz^{2}\bigr)\,\hat{j}+\bigl(3x^{3}z\bigr)\,\hat{k}
e pede:
(a) verificar se o escoamento é permanente;
(b) calcular o módulo da velocidade em (x,y,z)=(2,3,1);
(c) determinar a aceleração local;
(d) checar se o escoamento é compressível;
(e) verificar se é rotacional ou irrotacional.

Passo 2

Para saber se o escoamento é permanente (steady) comparamos o termo de derivada temporal. A aceleração local é
\frac{\partial \vec{u}}{\partial t},
mas como \vec{u} não depende de t explicitamente, temos
\frac{\partial \vec{u}}{\partial t}=\vec{0}.
Logo, o escoamento é permanente.

Passo 3

Para obter o módulo de \vec{u} em (2,3,1), primeiro avaliamo-lo ponto a ponto:
u_{x}=y^{2}z^{2}=3^{2}\cdot1^{2}=9,\quad u_{y}=2xyz^{2}=2\cdot2\cdot3\cdot1^{2}=12,\quad u_{z}=3x^{3}z=3\cdot2^{3}\cdot1=24.
Assim
\|\vec{u}\|=\sqrt{9^{2}+12^{2}+24^{2}} =\sqrt{81+144+576} =\sqrt{801} =3\sqrt{89}.

Passo 4

A aceleração local da partícula é justamente a derivada parcial de \vec{u} em relação ao tempo, mantendo a posição fixa:
\vec{a}_{\text{local}} =\frac{\partial \vec{u}}{\partial t} =\vec{0},
pois não há dependência explícita de t em \vec{u}.

Passo 5

Para testar compressibilidade, calculamos a divergência:
\nabla\cdot\vec{u} =\frac{\partial}{\partial x}(y^{2}z^{2}) +\frac{\partial}{\partial y}(2xyz^{2}) +\frac{\partial}{\partial z}(3x^{3}z).
Como
\frac{\partial}{\partial x}(y^{2}z^{2})=0,\quad \frac{\partial}{\partial y}(2xyz^{2})=2xz^{2},\quad \frac{\partial}{\partial z}(3x^{3}z)=3x^{3},
temos
\nabla\cdot\vec{u}=2xz^{2}+3x^{3}\neq0
em geral. Logo o escoamento é compressível.

Passo 6

Para ver se o escoamento é rotacional, calculamos a vorticidade \vec{\omega}=\nabla\times\vec{u}. Os componentes são
\omega_{x} =\frac{\partial}{\partial y}(3x^{3}z) -\frac{\partial}{\partial z}(2xyz^{2}) =0-4xyz =-4xyz,
\omega_{y} =\frac{\partial}{\partial z}(y^{2}z^{2}) -\frac{\partial}{\partial x}(3x^{3}z) =2y^{2}z-9x^{2}z,
\omega_{z} =\frac{\partial}{\partial x}(2xyz^{2}) -\frac{\partial}{\partial y}(y^{2}z^{2}) =2yz^{2}-2yz^{2}=0.
Como \vec{\omega}\neq\vec{0} em geral, o escoamento é rotacional.

Resposta

(a) Permanente (steady).
(b) \|\vec{u}(2,3,1)\|=3\sqrt{89}.
(c) \vec{a}_{\text{local}}=\vec{0}.
(d) Compressível, pois \nabla\cdot\vec{u}=2xz^{2}+3x^{3}\neq0.
(e) Rotacional, pois \nabla\times\vec{u}=(-4xyz,\;2y^{2}z-9x^{2}z,\;0)\neq\vec{0}.

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