Questão 5 - Um determinado campo de velocidades é dado pela seguinte equação:
\overrightarrow{\mathcal{U}}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}, \mathrm{t})=(-3 \mathrm{xy}) \hat{\mathrm{i}}-(\mathrm{yz}) \hat{\mathrm{j}}+(3 \mathrm{xz}) \hat{\mathrm{k}}
Para este escoamento, faça o que se pede:
a) Classificar o escoamento em função do regime de operação. O regime é permanente ou transitório? Justifique sua resposta.
b) Classificar o escoamento em relação à compressibilidade. Justifique sua resposta.
c) Determinar a expressão do vetor aceleração no ponto (x, y, z)=(0,-1,1) para um tempo t qualquer.

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidades
\overrightarrow{\mathcal{U}}(x,y,z,t)=(-3\,x\,y)\,\hat{\imath} \;-\;(y\,z)\,\hat{\jmath}\;+\;(3\,x\,z)\,\hat{k}
e pede:
a) verificar se o escoamento é permanente ou transitório (isto é, depende de t ou não);
b) verificar se é compressível ou incompressível (isto é, se \nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{U}}\neq0 ou não);
c) calcular o vetor aceleração no ponto (0,-1,1) para tempo arbitrário t, usando a definição
\vec{a}=\frac{\partial\overrightarrow{\mathcal{U}}}{\partial t}+(\overrightarrow{\mathcal{U}}\cdot\nabla)\overrightarrow{\mathcal{U}}.

Passo 2

Para decidir se o escoamento é permanente ou transitório, calculamos
\frac{\partial\overrightarrow{\mathcal{U}}}{\partial t}.
Como \overrightarrow{\mathcal{U}} não contém t explicitamente, temos
\frac{\partial\overrightarrow{\mathcal{U}}}{\partial t}=\vec{0},
logo o escoamento é permanente (ou seja, não depende de t).

Passo 3

Para determinar a compressibilidade, calculamos o divergente
\nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{U}} =\frac{\partial}{\partial x}(-3xy) +\frac{\partial}{\partial y}(-yz) +\frac{\partial}{\partial z}(3xz).
Computando cada termo:
\frac{\partial}{\partial x}(-3xy)=-3y,\quad \frac{\partial}{\partial y}(-yz)=-z,\quad \frac{\partial}{\partial z}(3xz)=3x.
Portanto
\nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{U}} =-3y - z + 3x,
que não é identicamente zero para todo (x,y,z). Assim o escoamento é compressível.

Passo 4

Para achar a aceleração usamos
\vec{a}=(\overrightarrow{\mathcal{U}}\cdot\nabla)\overrightarrow{\mathcal{U}},
pois \partial\overrightarrow{\mathcal{U}}/\partial t=\vec{0}. Escrevendo \overrightarrow{\mathcal{U}}=(U_x,U_y,U_z) com
U_x=-3xy,\quad U_y=-yz,\quad U_z=3xz,
temos
a_x= U_x\frac{\partial U_x}{\partial x} +U_y\frac{\partial U_x}{\partial y} +U_z\frac{\partial U_x}{\partial z},
a_y= U_x\frac{\partial U_y}{\partial x} +U_y\frac{\partial U_y}{\partial y} +U_z\frac{\partial U_y}{\partial z},
a_z= U_x\frac{\partial U_z}{\partial x} +U_y\frac{\partial U_z}{\partial y} +U_z\frac{\partial U_z}{\partial z}.
Calculando as derivadas parciais e multiplicando, chega-se a
\vec{a}(x,y,z) =\bigl(9xy^2+3xyz\bigr)\,\hat{\imath} +\bigl(yz^2-3xyz\bigr)\,\hat{\jmath} +\bigl(-9xyz+9x^2z\bigr)\,\hat{k}.

Passo 5

Agora avaliaremos em (x,y,z)=(0,-1,1):
a_x(0,-1,1)=9\cdot0\cdot(-1)^2+3\cdot0\cdot(-1)\cdot1=0,
a_y(0,-1,1)=(-1)\cdot1^2-3\cdot0\cdot(-1)\cdot1=-1,
a_z(0,-1,1)=-9\cdot0\cdot(-1)\cdot1+9\cdot0^2\cdot1=0.
Logo
\vec{a}(0,-1,1)=0\,\hat{\imath}-1\,\hat{\jmath}+0\,\hat{k}=-\hat{\jmath}.

Resposta

a) O escoamento é permanente (não depende de t).
b) O escoamento é compressível ( \nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{U}}=-3y - z + 3x\neq0 em geral).
c) \displaystyle \vec{a}(0,-1,1)=-\hat{\jmath}.

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