Questão 6 - Verífique se os escoamentos são rotacionais ou irrotacionais:
\vec{u}=\left(12 x^{3} y\right) \hat{i}+\left(3 x^{4}\right) \hat{j}+(10) \hat{k}

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidades \vec{u}=(12x^{3}y)\,\hat{i}+(3x^{4})\,\hat{j}+10\,\hat{k}
e pede para verificar se o escoamento é rotacional ou irrotacional. Vamos usar o conceito de rotacional (curl) de um campo vetorial.

Passo 2

O rotacional de \vec{u} é definido por
\nabla\times\vec{u} =(\partial_{y}u_{z}-\partial_{z}u_{y})\,\hat{i} +(\partial_{z}u_{x}-\partial_{x}u_{z})\,\hat{j} +(\partial_{x}u_{y}-\partial_{y}u_{x})\,\hat{k}.
Se esse vetor for igual a \vec{0}, o escoamento é irrotacional; caso contrário, é rotacional.

Passo 3

Identificamos u_{x}=12x^{3}y, u_{y}=3x^{4} e u_{z}=10. Agora cada componente do rotacional:
  • Componente \hat{i}:
    \partial_{y}u_{z}-\partial_{z}u_{y} =\partial_{y}(10)-\partial_{z}(3x^{4}) =0-0=0.
  • Componente \hat{j}:
    \partial_{z}u_{x}-\partial_{x}u_{z} =\partial_{z}(12x^{3}y)-\partial_{x}(10) =0-0=0.
  • Componente \hat{k}:
    \partial_{x}u_{y}-\partial_{y}u_{x} =\partial_{x}(3x^{4})-\partial_{y}(12x^{3}y) =12x^{3}-12x^{3}=0.

Passo 4

Como todas as componentes do rotacional são zero, temos
\nabla\times\vec{u}=\vec{0}.
Logo o escoamento é irrotacional.

Resposta

O escoamento é irrotacional.

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