(Tipler Vol2 Cap 13 Ex 79) O módulo volumétrico da água domar é 2,30 * 10 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Determine a diferença entre a massa especifica da água do mar a uma profundidade onde a pressão é de 800 atm e a massa especifica na superfície, que vale 1025 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} ? Despreze eventuais efeitos associados a variações de temperatura e salinidade. \mathbf{3 6 . 1} \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} - use que \Delta V / V=-\Delta \rho / \rho

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Módulo volumétrico da água do mar: B = 2,30\times10^{9}\\ \mathrm{N/m^{2}}.
  • Massa específica na superfície: \rho_{0}=1025\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Pressão na profundidade considerada: P_{\text{prof}}=800\\ \text{atm}.
  • Pedem a diferença entre a massa específica da água do mar nessa profundidade e a massa específica na superfície: \Delta \rho = \rho_{\text{prof}}-\rho_{0}.
  • Foi fornecida a relação a usar: \Delta V / V = -\Delta \rho / \rho.
  • Desprezar variações de temperatura e salinidade.

Passo 2

Entendendo o módulo volumétrico e a relação que vamos usar (aula curta e direta).
  • O módulo volumétrico B mede a resistência do material à compressão; sua definição é
B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V},
onde:
  • \Delta P é a variação de pressão aplicada,
  • \Delta V / V é a variação relativa do volume (fração de mudança do volume).
  • O sinal menos aparece porque um aumento de pressão ( \Delta P>0) normalmente causa uma diminuição de volume ( \Delta V<0), tornando \Delta V/V negativo e B positivo.
  • O enunciado também fornece a relação entre variação de volume e variação de densidade:
\Delta V / V = -\Delta \rho / \rho,
que vem da conservação de massa: se a massa m é constante, \rho = m/V, então uma variação relativa de V implica variação relativa oposta em \rho.

Passo 3

Derivação algébrica que liga \Delta \rho a \Delta P.
  • Substituindo \Delta V / V = -\Delta \rho / \rho na definição de B:
B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V} = -\frac{\Delta P}{-\Delta \rho / \rho} = \frac{\Delta P}{\Delta \rho / \rho}.
  • Reorganizando para obter \Delta \rho:
\Delta \rho = \rho\,\frac{\Delta P}{B}.
Aqui \rho é a densidade de referência; como a variação é pequena usamos \rho=\rho_{0}=1025\\ \mathrm{kg/m^{3}}.

Passo 4

Determinar \Delta P em unidades SI (Pascal).
  • A pressão na profundidade é P_{\text{prof}}=800\\ \text{atm}. A pressão na superfície é aproximadamente 1\\ \text{atm}. Pode-se usar \Delta P = P_{\text{prof}}-P_{\text{sup}} \approx 800\\ \text{atm}-1\\ \text{atm}=799\\ \text{atm}.
  • Como 1\\ \text{atm}=1,013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}, obtemos (aproximando por simplicidade usando 800\\ \text{atm} — a diferença de usar 799 atm é desprezível nos dígitos relevantes):
\Delta P \approx 800\times(1,013\times10^{5})\\ \mathrm{Pa} = 8,104\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}.
(Apenas para comparar: usando 799 atm daria 8,09387\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}, efeito muito pequeno.)

Passo 5

Calcular numericamente \Delta \rho usando a fórmula obtida.
  • Usando
\Delta \rho = \rho_{0}\,\frac{\Delta P}{B},
substituindo \rho_{0}=1025\\ \mathrm{kg/m^{3}}, \Delta P=8,104\times10^{7}\\ \mathrm{Pa} e B=2,30\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}:
\Delta \rho = 1025\times\frac{8,104\times10^{7}}{2,30\times10^{9}}\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Fazer as contas passo a passo:
\frac{8,104\times10^{7}}{2,30\times10^{9}}=\frac{8,104}{2,30}\times10^{7-9}=\frac{8,104}{2,30}\times10^{-2}.
\frac{8,104}{2,30}\approx3,52435\quad\Rightarrow\quad\frac{8,104\times10^{7}}{2,30\times10^{9}}\approx3,52435\times10^{-2}=0,0352435.
\Delta \rho \approx 1025\times0,0352435\\ \mathrm{kg/m^{3}}\approx36,117\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Arredondando sensatamente para três algarismos significativos: \Delta \rho \approx36,1\\ \mathrm{kg/m^{3}}.

Passo 6

Observações finais e checagem rápida (ânimo!).
  • Se subtrairmos explicitamente 1\\ \text{atm} (usar 799 atm) o valor muda muito pouco: dá cerca de 36,07\\ \mathrm{kg/m^{3}}. Então o resultado de 36,1\\ \mathrm{kg/m^{3}} é robusto.
  • Interpretando: a massa específica sobe de 1025\\ \mathrm{kg/m^{3}} na superfície para cerca de 1025+36,1\approx1061,1\\ \mathrm{kg/m^{3}} nessa profundidade, devido à compressão pelo grande aumento de pressão.

Resposta

36,1\\ \mathrm{kg/m^{3}}

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