Questão 4 Dois números, quando somados, resulta em 329. Na divisão do maior pelo menor, obtemos quociente 12 e resto o maior possível. Determine estes números.
Resposta: 307 e 22. (Dica: Para que o resto seja o maior possível, ele deve ser uma unidade a menos do que o divisor.).

Passo 1

O enunciado afirma que existem dois números inteiros positivos x e y, com x>y, tais que
  1. x + y = 329.
  2. Na divisão de x por y obtém-se quociente igual a 12 e resto o mais “gordo” possível.
    Para resolver, vamos usar o algoritmo da divisão inteira e a definição de resto máximo.

Passo 2

Pelo algoritmo da divisão, existe inteiro r com 0 \le r < y tal que
x = 12\,y + r.
Para que o resto seja o maior possível, devemos ter
r = y - 1.
Logo
x = 12\,y + (y-1) = 13\,y - 1.
Substituindo na soma x + y = 329
(13\,y - 1) + y = 329
14\,y - 1 = 329
14\,y = 330
y = \frac{330}{14},
que não é inteiro. Isso mostra que, com quociente 12, não há solução inteira.

Passo 3

Para que y seja inteiro, é preciso ajustar o quociente. Se tentarmos quociente 13, teríamos
x = 13\,y + (y - 1) = 14\,y - 1
e a soma
(14\,y - 1) + y = 329
15\,y - 1 = 329
15\,y = 330
y = 22.

Passo 4

Com y = 22, obtemos
x = 329 - 22 = 307.
Verificando a divisão:
307 \div 22 = 13\quad\text{com resto}\quad307 - 13\cdot22 = 307 - 286 = 21,
e de fato 21 = 22 - 1 é o resto máximo.

Resposta

307 e 22.

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