Questāo 1(1,0). Dados os pomtos P(2,4,5) e Q(1,2,3) determine um vetor \vec{w} paralelo ao vetor \overrightarrow{P Q} que tenha módulo igual a 6.

Passo 1

O enunciado dá dois pontos P(2,4,5) e Q(1,2,3) e pede um vetor \vec{w} paralelo a \overrightarrow{PQ} com módulo igual a 6. Para isso, vamos usar os conceitos de vetor entre dois pontos, módulo de vetor, vetor unitário e escala de vetor.

Passo 2

Calculamos primeiro o vetor que vai de P a Q:
\vec{PQ} = Q - P = (1-2,\;2-4,\;3-5) = (-1,\,-2,\,-2).

Passo 3

Em seguida, encontramos o módulo de \vec{PQ}:
\|\vec{PQ}\| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3.

Passo 4

Agora obtemos o vetor unitário na direção de \vec{PQ}, dividindo pelo seu módulo:
\vec{u} = \frac{\vec{PQ}}{\|\vec{PQ}\|} = \frac{1}{3}\,(-1,\,-2,\,-2) = \Bigl(-\tfrac{1}{3},\,-\tfrac{2}{3},\,-\tfrac{2}{3}\Bigr).

Passo 5

Por fim, escalamos \vec{u} para que seu módulo seja 6:
\vec{w} = 6\,\vec{u} = 6\Bigl(-\tfrac{1}{3},\,-\tfrac{2}{3},\,-\tfrac{2}{3}\Bigr) = (-2,\,-4,\,-4).

Resposta

\vec{w}=(-2,\,-4,\,-4)

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