QUESTÃO 2. Dados os pontos , e pertencentes ao plano , determine: OBS: Escolha o ponto A.
Equações Paramétricas do plano .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três pontos que estão no mesmo plano, o plano α: A(1,2,3), B(0,3,-2) e C(1,1,1). Nosso objetivo é encontrar as equações paramétricas desse plano. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores e como eles se relacionam com os planos no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher o ponto A como referência, conforme solicitado. A ideia é usar A como ponto de partida e encontrar dois vetores que estejam no plano α. Esses vetores vão nos ajudar a descrever todo o plano.
Passo 3
Vamos encontrar os vetores que ligam o ponto A aos pontos B e C. Isso é feito subtraindo as coordenadas de A das coordenadas de B e de C:
Então, os vetores e estão no plano α.
Passo 4
Agora, vamos lembrar que as equações paramétricas de um plano são dadas por:
Onde (x0, y0, z0) é um ponto no plano (neste caso, A), e (a, c, e) e (b, d, f) são os componentes dos dois vetores diretores do plano (nossos vetores AB e AC).
Passo 5
Vamos substituir os valores que temos nas equações paramétricas. O ponto A é (1,2,3), o vetor AB é (-1,1,-5) e o vetor AC é (0,-1,-2). Assim, nossas equações ficam:
x = 1 + (-1) cdot u + 0 cdot v y = 2 + 1 cdot u + (-1) cdot v z = 3 + (-5) cdot u + (-2) cdot v
Passo 6
Vamos simplificar as equações:
x = 1 - u y = 2 + u - v z = 3 - 5u - 2v
Prontinho! Essas são as equações paramétricas do plano α usando o ponto A e os vetores AB e AC.