QUESTÃO 2. Dados os pontos A(1,2,3), B(0,3,-2) e C(1,1,1) pertencentes ao plano alpha, determine: OBS: Escolha o ponto A.
Equações Paramétricas do plano alpha.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três pontos que estão no mesmo plano, o plano α: A(1,2,3), B(0,3,-2) e C(1,1,1). Nosso objetivo é encontrar as equações paramétricas desse plano. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores e como eles se relacionam com os planos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o ponto A como referência, conforme solicitado. A ideia é usar A como ponto de partida e encontrar dois vetores que estejam no plano α. Esses vetores vão nos ajudar a descrever todo o plano.

Passo 3

Vamos encontrar os vetores que ligam o ponto A aos pontos B e C. Isso é feito subtraindo as coordenadas de A das coordenadas de B e de C:
AB = B - A = (0-1, 3-2, -2-3) = (-1, 1, -5)
AC = C - A = (1-1, 1-2, 1-3) = (0, -1, -2)
Então, os vetores AB = (-1, 1, -5) e AC = (0, -1, -2) estão no plano α.

Passo 4

Agora, vamos lembrar que as equações paramétricas de um plano são dadas por:
x = x0 + a cdot u + b cdot v y = y0 + c cdot u + d cdot v z = z0 + e cdot u + f cdot v
Onde (x0, y0, z0) é um ponto no plano (neste caso, A), e (a, c, e) e (b, d, f) são os componentes dos dois vetores diretores do plano (nossos vetores AB e AC).

Passo 5

Vamos substituir os valores que temos nas equações paramétricas. O ponto A é (1,2,3), o vetor AB é (-1,1,-5) e o vetor AC é (0,-1,-2). Assim, nossas equações ficam:
x = 1 + (-1) cdot u + 0 cdot v y = 2 + 1 cdot u + (-1) cdot v z = 3 + (-5) cdot u + (-2) cdot v

Passo 6

Vamos simplificar as equações:
x = 1 - u y = 2 + u - v z = 3 - 5u - 2v
Prontinho! Essas são as equações paramétricas do plano α usando o ponto A e os vetores AB e AC.

Resposta

As equações paramétricas do plano α são:
x = 1 - u y = 2 + u - v z = 3 - 5u - 2v

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