Questão 2 Dados os pontos A(1,-5,-2) e B(-5,-4,3), responda:
(a) [0,5 \mathrm{pt}] Calcule o ponto médio do segmento A B.
(b) [0,5 \mathrm{pt}] Determine as coordenadas do vetor \overrightarrow{A B}.
(c) [0,5 \mathrm{pt}] Calcule o versor do vetor \overrightarrow{A B}.

Passo 1

O enunciado dá dois pontos no espaço tridimensional: A(1,-5,-2) e B(-5,-4,3). Ele pede:
– (a) o ponto médio do segmento AB;
– (b) as coordenadas do vetor \overrightarrow{AB};
– (c) o versor (ou vetor unitário) de \overrightarrow{AB}.
O conteúdo é geometria analítica em \mathbb{R}^3, e vamos usar as fórmulas do ponto médio, da diferença de vetores e da norma de um vetor.

Passo 2

Para o ponto médio M de AB usamos a fórmula
M \;=\;\Bigl(\frac{x_A+x_B}{2},\,\frac{y_A+y_B}{2},\,\frac{z_A+z_B}{2}\Bigr).
Substituindo A(1,-5,-2) e B(-5,-4,3),
M = \Bigl(\frac{1 + (-5)}{2},\,\frac{-5 + (-4)}{2},\,\frac{-2 + 3}{2}\Bigr) = \Bigl(\frac{-4}{2},\,\frac{-9}{2},\,\frac{1}{2}\Bigr) = \bigl(-2,\,-\tfrac{9}{2},\,\tfrac{1}{2}\bigr).

Passo 3

O vetor \overrightarrow{AB} é dado por
\overrightarrow{AB} = B - A = \bigl(x_B - x_A,\;y_B - y_A,\;z_B - z_A\bigr).
Logo,
\overrightarrow{AB} = \bigl(-5 - 1,\;-4 - (-5),\;3 - (-2)\bigr) = (-6,\;1,\;5).

Passo 4

O versor \hat{u} de \overrightarrow{AB} é
\hat{u} = \frac{\overrightarrow{AB}}{\|\overrightarrow{AB}\|},
onde a norma \|\overrightarrow{AB}\| é
\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(-6)^2 + 1^2 + 5^2} = \sqrt{36 + 1 + 25} = \sqrt{62}.
Portanto,
\hat{u} = \frac{1}{\sqrt{62}}\,(-6,\;1,\;5).

Resposta

(a) \displaystyle M = \bigl(-2,\,-\tfrac{9}{2},\,\tfrac{1}{2}\bigr)
(b) \displaystyle \overrightarrow{AB} = (-6,\,1,\,5)
(c) \displaystyle \hat{u} = \frac{1}{\sqrt{62}}\;(-6,\,1,\,5)

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