Questão 9. Dados os vetores v=(3,-5) e u=(-2,8), decomponha v como v=v1+v2, sendo v1 | u e v2 perp u.

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor vec v=(3,-5) como soma de uma componente vec v1 paralela a vec u=(-2,8) e outra vec v2 perpendicular a vec u. Vamos usar a fórmula da projeção ortogonal para obter vec v1 e então definir vec v2=vec v-vec v1.

Passo 2

Calcular os produtos internos necessários:
vec vcdotvec u = 3cdot(-2) + (-5)cdot 8 = -6 - 40 = -46,
vec ucdotvec u = (-2)^2 + 8^2 = 4 + 64 = 68

Passo 3

Aplicar a fórmula da projeção de vec v sobre vec u:
vec v1 = vec vcdotvec uvec ucdotvec u,vec u = -4668,vec u = -2334,(-2,8) = l(2317, -9217r)

Passo 4

Obter vec v2 e verificar perpendicularidade:
vec v2 = vec v - vec v1 = l(3 - tfrac2317,,-5 -l(-tfrac9217r)r) = l(tfrac2817,,tfrac717r)
E de fato
vec v2cdotvec u = 2817(-2) + 717cdot 8 = -5617 + 5617 = 0,
logo vec v2perpvec u.

Resposta

vec v1 = l(tfrac2317, -tfrac9217r), vec v2 = l(tfrac2817, tfrac717r)

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